Упр.398 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=vlog(0,7; (x+1)/(x-5));
2) f(x)=log(3, log(0,3; (x-2)/(x+3))).

1) $$f(x)=\sqrt{\log_{0,7}\frac{x+1}{x-5}}$$

Для существования корня нужно:

$$\log_{0,7}\frac{x+1}{x-5}\ge 0,$$

а также

$$\frac{x+1}{x-5}>0.$$

Так как основание $$0,7<1,$$ то из неравенства

$$\log_{0,7}\frac{x+1}{x-5}\ge 0$$

получаем

$$0<\frac{x+1}{x-5}\le 1.$$

Решим систему:

$$\frac{x+1}{x-5}>0,$$

$$\frac{x+1}{x-5}\le 1.$$

Из первого неравенства:

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>5.$$

Из второго:

$$\frac{x+1}{x-5}-1\le 0,$$

$$\frac{x+1-(x-5)}{x-5}\le 0,$$

$$\frac{6}{x-5}\le 0,$$

откуда

$$x<5.$$

Пересечение условий:

$$x<-1.$$

Следовательно,

$$D(f)=(-\infty;-1).$$

2) $$f(x)=\log_3\log_{0,3}\frac{x-2}{x+3}$$

Для существования внешнего логарифма нужно:

$$\log_{0,3}\frac{x-2}{x+3}>0.$$

Так как основание $$0,3<1,$$ то это равносильно

$$0<\frac{x-2}{x+3}<1.$$

Решим систему:

$$\frac{x-2}{x+3}>0,$$

$$\frac{x-2}{x+3}<1.$$

Из первого неравенства:

$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>2.$$

Из второго:

$$\frac{x-2}{x+3}-1<0,$$

$$\frac{x-2-(x+3)}{x+3}<0,$$

$$\frac{-5}{x+3}<0,$$

откуда

$$x>-3.$$

Пересечение условий:

$$x>2.$$

Следовательно,

$$D(f)=(2;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-1)$$; 2) $$(2;+\infty).$$