Упр.397 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) log(6, x+1) < log(6, 2x+5); 5) log(0,4; x^2+1) > log(0,4; 2x+25);
2) log(2, 2x-3) > log(2, 3x-5); 6) log(1/9, 1-x^2) > log(1/9, 2x+2);
3) ln(x^2-3) > ln(3x-7); 7) 2log(3, x)-log(3, 2x+9)?1;
4) log(0,7; 3x-1) < log(0,7; 3-x); 8) lg((x+3)/(x+4)) > lg((x+5)/(x+2)).

Подробный ответ

$$\log_6(x+1)<\log_6(2x+5)$$
Так как основание $$6>1$$, то
$$x+1<2x+5.$$
С учётом области определения:
$$x+1>0,\quad 2x+5>0.$$
Получаем:
$$x>-1,\quad x>-\frac52,\quad x>-4.$$
Пересечение условий даёт:
$$x>-1.$$
$$\log_2(2x-3)>\log_2(3x-5)$$
Так как основание $$2>1$$, то
$$2x-3>3x-5.$$
Отсюда
$$x<2.$$
Область определения:
$$2x-3>0,\quad 3x-5>0,$$
$$x>\frac32,\quad x>\frac53.$$
Итак,
$$\frac53<x<2.$$
$$\ln(x^2-3)>\ln(3x-7)$$
Так как функция $$\ln x$$ возрастает, то
$$x^2-3>3x-7.$$
Получаем:
$$x^2-3x+4>0.$$
Дискриминант:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0.$$
Значит, $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.
Область определения:
$$x^2-3>0,\quad 3x-7>0.$$
Из первого неравенства:
$$x<-\sqrt3 \quad \text{или} \quad x>\sqrt3.$$
Из второго:
$$x>\frac73.$$
Пересечение условий:
$$x>\frac73.$$
$$\log_{0,7}(3x-1)<\log_{0,7}(3-x)$$
Так как основание $$0,7<1$$, знак неравенства меняется:
$$3x-1>3-x.$$
Отсюда
$$4x>4,\quad x>1.$$
Область определения:
$$3x-1>0,\quad 3-x>0,$$
$$x>\frac13,\quad x<3.$$
Итак,
$$1<x<3.$$
$$\log_{0,4}(x^2+1)>\log_{0,4}(2x+25)$$
Так как основание $$0,4<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2+1<2x+25.$$
Получаем:
$$x^2-2x-24<0.$$
Разложим на множители:
$$ (x+4)(x-6)<0.$$
Отсюда
$$-4<x<6.$$
Область определения выполняется при всех $$x\in\mathbb R$$, так как $$x^2+1>0$$ и $$2x+25>0$$ на найденном промежутке.
$$\log_{\frac19}(1-x^2)>\log_{\frac19}(2x+2)$$
Так как основание $$\frac19<1$$, знак неравенства меняется:
$$1-x^2<2x+2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2+2x+1>0,$$
$$ (x+1)^2>0.$$
Это верно при всех $$x\neq -1$$.
Область определения:
$$1-x^2>0,\quad 2x+2>0,$$
$$-1<x<1,\quad x>-1.$$
Итак,
$$-1<x<1.$$
$$2\log_3 x-\log_3(2x+9)\le 1$$
Преобразуем:
$$\log_3 x^2-\log_3(2x+9)\le \log_3 3.$$
Тогда
$$\log_3\frac{x^2}{2x+9}\le \log_3 3.$$
Так как основание $$3>1$$, получаем:
$$\frac{x^2}{2x+9}\le 3.$$
$$x^2\le 6x+27,$$
$$x^2-6x-27\le 0.$$
Корни уравнения:
$$x_1=-3,\quad x_2=9.$$
Значит,
$$-3\le x\le 9.$$
Область определения:
$$x>0,\quad 2x+9>0.$$
Итак,
$$0<x\le 9.$$
$$\lg\frac{x+3}{x+4}>\lg\frac{x+5}{x+2}$$
Так как функция $$\lg x$$ возрастает, то
$$\frac{x+3}{x+4}>\frac{x+5}{x+2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+3)(x+2)-(x+5)(x+4)}{(x+4)(x+2)}>0.$$
Числитель:
$$x^2+5x+6-(x^2+9x+20)=-4x-14.$$
Тогда
$$\frac{-4x-14}{(x+4)(x+2)}>0,$$
$$\frac{2x+7}{(x+4)(x+2)}<0.$$
Критические точки: $$x=-4,\,-\frac72,\,-2.$$
С учётом области определения:
$$\frac{x+3}{x+4}>0,\quad \frac{x+5}{x+2}>0,$$
получаем общий промежуток
$$x<-\frac72.$$