Упр.396 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\lg(5x+2)=\frac{1}{2}\lg(36)+\lg(2)$$
2. $$\log_{5}(250-x^3)=3\log_{5}(x)$$
3. $$\log_{9}(4x-6)=\log_{9}(2x-4)$$
4. $$\frac{1}{2}\lg(3x^2+25)=\lg(3x-5)$$
5. $$\lg(2x+1)=0{,}5\lg(1-3x)$$
6. $$\log_{6}(x^2-x-2)=\log_{6}(2x^2+x-1)$$
7. $$2\log_{7}(-x)=\log_{7}(x+6)$$
8. $$\ln(x^2-2x-8)=2\ln\left(\sqrt{-4x}\right)$$

1. $$\lg(5x+2)=\frac12\lg 36+\lg 2$$
   $$\lg(5x+2)=\lg 6+\lg 2=\lg 12$$
   $$5x+2=12$$
   $$x=2$$
2. $$\log_5(250-x^3)=3\log_5 x$$
   $$3\log_5 x=\log_5(x^3)$$
   $$\log_5(250-x^3)=\log_5(x^3)$$
   $$250-x^3=x^3$$
   $$2x^3=250$$
   $$x^3=125$$
   $$x=5$$
3. $$\log_9(4x-6)=\log_9(2x-4)$$
   $$4x-6=2x-4$$
   $$2x=2$$
   $$x=1$$
   Проверим ОДЗ:
   $$4x-6>0,\quad 2x-4>0$$
   $$x>\frac32,\quad x>2$$
   При $$x=1$$ условия не выполняются, значит корней нет.
4. $$\frac12\lg(3x^2+25)=\lg(3x-5)$$
   $$\lg(3x^2+25)=2\lg(3x-5)$$
   $$\lg(3x^2+25)=\lg(3x-5)^2$$
   $$3x^2+25=(3x-5)^2$$
   $$3x^2+25=9x^2-30x+25$$
   $$6x(x-5)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=5$$
   ОДЗ:
   $$3x-5>0,\quad x>\frac53$$
   Подходит только $$x=5$$.
5. $$\lg(2x+1)=0{,}5\lg(1-3x)$$
   $$2\lg(2x+1)=\lg(1-3x)$$
   $$\lg(2x+1)^2=\lg(1-3x)$$
   $$4x^2+4x+1=1-3x$$
   $$x(4x+7)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-\frac74$$
   ОДЗ:
   $$2x+1>0,\quad 1-3x>0$$
   $$x>-\frac12,\quad x<\frac13$$
   Подходит только $$x=0$$.
6. $$\log_6(x^2-x-2)=\log_6(2x^2+x-1)$$
   $$x^2-x-2=2x^2+x-1$$
   $$x^2+2x+1=0$$
   $$\left(x+1\right)^2=0$$
   $$x=-1$$
   Проверим ОДЗ:
   $$x^2-x-2>0$$
   $$\left(x-2\right)\left(x+1\right)>0$$
   При $$x=-1$$ логарифм не определён, значит корней нет.
7. $$2\log_7(-x)=\log_7(x+6)$$
   $$\log_7(x^2)=\log_7(x+6)$$
   $$x^2=x+6$$
   $$x^2-x-6=0$$
   $$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0$$
   $$x=3 \text{ или } x=-2$$
   ОДЗ:
   $$-x>0,\quad x+6>0$$
   $$x<0,\quad x>-6$$
   Подходит только $$x=-2$$.
8. $$\ln(x^2-2x-8)=2\ln\sqrt{-4x}$$
   $$2\ln\sqrt{-4x}=\ln(-4x)$$
   $$\ln(x^2-2x-8)=\ln(-4x)$$
   $$x^2-2x-8=-4x$$
   $$x^2+2x-8=0$$
   $$\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0$$
   $$x=-4 \text{ или } x=2$$
   ОДЗ:
   $$-4x>0,\quad x<0$$
   Подходит только $$x=-4$$.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$5$$; 3) корней нет; 4) $$5$$; 5) $$0$$; 6) корней нет; 7) $$-2$$; 8) $$-4$$.