Упр.395 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) log(7, 2x-1) < 2; 6) log(5, x^2+2x-3)?1;
2) log(1/2, 2x-3) > 1; 7) log(0,6, x^2+4x+4) > 0;
3) log(4, x+1) < -1/2; 8) log(3, (2x+1)/(x+1))?1;
4) lg(x^2+x+8) > 1; 9) log(1/6, (x+2)/x^2) < 0.
5) log(0,2, x^2+4x)?-1;
$$\log_7(2x-1)<2$$
Так как основание $$7>1$$, получаем:
$$2x-1<7^2=49$$
$$x<25$$
Область определения:
$$2x-1>0,\quad x>\frac12$$
Пересекаем условия:
$$x\in\left(\frac12;25\right)$$
$$\log_{\frac12}(2x-3)>1$$
Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
$$2x-3<\frac12$$
$$4x<7,\quad x<\frac74$$
Область определения:
$$2x-3>0,\quad x>\frac32$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac32;\frac74\right)$$
$$\log_4(x+1)<-\frac12$$
Так как основание $$4>1$$, получаем:
$$x+1<4^{-1/2}=\frac12$$
$$x<-\frac12$$
Область определения:
$$x+1>0,\quad x>-1$$
Итак,
$$x\in\left(-1;-\frac12\right)$$
$$\lg(x^2+x+8)>1$$
Так как $$\lg A>1 \iff A>10$$, имеем:
$$x^2+x+8>10$$
$$x^2+x-2>0$$
$$ (x+2)(x-1)>0 $$
Отсюда:
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>1$$
Ответ:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)$$
$$\log_{0,2}(x^2+4x)\ge -1$$
Так как основание $$0,2<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2+4x\le 0,2^{-1}=5$$
$$x^2+4x-5\le 0$$
$$ (x+5)(x-1)\le 0 $$
$$-5\le x\le 1$$
Область определения:
$$x^2+4x>0$$
$$x(x+4)>0$$
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>0$$
Пересечение даёт:
$$x\in[-5;-4)\cup(0;1]$$
$$\log_5(x^2+2x-3)\le 1$$
Так как основание $$5>1$$, получаем:
$$x^2+2x-3\le 5$$
$$x^2+2x-8\le 0$$
$$ (x+4)(x-2)\le 0 $$
$$-4\le x\le 2$$
Область определения:
$$x^2+2x-3>0$$
$$ (x+3)(x-1)>0 $$
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>1$$
Пересечение:
$$x\in[-4;-3)\cup(1;2]$$
$$\log_{0,6}(x^2+4x+4)>0$$
Так как основание $$0,6<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2+4x+4<1$$
$$x^2+4x+3<0$$
$$ (x+3)(x+1)<0 $$
$$-3<x<-1$$
Область определения:
$$x^2+4x+4>0$$
$$ (x+2)^2>0,\quad x\ne -2$$
Итак,
$$x\in(-3;-2)\cup(-2;-1)$$
$$\log_3\frac{2x+1}{x+1}\ge 1$$
Так как основание $$3>1$$, получаем:
$$\frac{2x+1}{x+1}\ge 3$$
$$\frac{2x+1-3(x+1)}{x+1}\ge 0$$
$$\frac{-x-2}{x+1}\ge 0$$
$$\frac{x+2}{x+1}\le 0$$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=-1$$, при этом $$x\ne -1$$.
Следовательно,
$$x\in[-2;-1)$$
$$\log_{\frac16}\frac{x+2}{x^2}<0$$
Так как основание $$\frac16<1$$, знак неравенства меняется:
$$\frac{x+2}{x^2}>1$$
$$\frac{x+2-x^2}{x^2}>0$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, достаточно решить:
$$x+2>x^2$$
$$x^2-x-2<0$$
$$ (x+1)(x-2)<0 $$
$$-1<x<2$$
Область определения:
$$x+2>0,\quad x>-2,\quad x\ne 0$$
Итог:
$$x\in(-1;0)\cup(0;2)$$
Ответ
1) $$\left(\frac12;25\right)$$; 2) $$\left(\frac32;\frac74\right)$$; 3) $$\left(-1;-\frac12\right)$$; 4) $$(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)$$; 5) $$[-5;-4)\cup(0;1]$$; 6) $$[-4;-3)\cup(1;2]$$; 7) $$(-3;-2)\cup(-2;-1)$$; 8) $$[-2;-1)$$; 9) $$(-1;0)\cup(0;2)$$.
