Упр.394 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) log(0,2 x^2+4x)=-1; 6) log(2, 9-2^x)=7^log(7, 3-x);
2) lg(x)=3-lg(20); 7) log(2x, 64)-log(2x, 4)=2;
3) log(3, x)+log(9, x)+log(27, x)=5,5; 8) log(x-1, 2x^2-4x+1)=2;
4) log(2, log(3, log(4, x)))=0; 5) 100^lg(x+10)=10 000;
9) (log(2, x^2-x-16)-2)/log(5, x-4)=0.

Подробный ответ

$$\log_{0,2}(x^2+4x)=-1$$
$$x^2+4x=(0,2)^{-1}=5$$
$$x^2+4x-5=0$$
$$D=4^2+4\cdot 5=36$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=1$$
$$\lg x=3-\lg 20$$
$$\lg x=\lg 1000-\lg 20=\lg 50$$
$$x=50$$
$$\log_3 x+\log_9 x+\log_{27} x=5{,}5$$
$$\log_9 x=\frac12\log_3 x,\quad \log_{27} x=\frac13\log_3 x$$
$$\log_3 x+\frac12\log_3 x+\frac13\log_3 x=5{,}5$$
$$\frac{11}{6}\log_3 x=5{,}5$$
$$11\log_3 x=33$$
$$\log_3 x=3,\quad x=27$$
$$\log_2\log_3\log_4 x=0$$
$$\log_3\log_4 x=2^0=1$$
$$\log_4 x=3^1=3$$
$$x=4^3=64$$
$$100^{\lg(x+10)}=10000$$
$$100^{\lg(x+10)}=100^2$$
$$\lg(x+10)=2$$
$$x+10=10^2=100$$
$$x=90$$
$$\log_2(9-2^x)=7^{\log_7(3-x)}$$
$$7^{\log_7(3-x)}=3-x$$
$$\log_2(9-2^x)=3-x$$
$$9-2^x=2^{3-x}$$
$$9\cdot 2^x-2^{2x}=2^3$$
$$2^{2x}-9\cdot 2^x+8=0$$
Пусть $$t=2^x$$, тогда
$$t^2-9t+8=0$$
$$t_1=1,\quad t_2=8$$
$$2^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$2^x=8 \Rightarrow x=3$$
Область определения: $$3-x>0,\; x<3$$, значит подходит только $$x=0$$.
$$\log_{2x}64-\log_{2x}4=2$$
$$\log_{2x}\frac{64}{4}=2$$
$$\log_{2x}16=2$$
$$16=(2x)^2$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
По области определения основания логарифма:
$$2x>0,\quad 2x\ne 1$$
значит $$x>0,\; x\ne \frac12$$.
Подходит только $$x=2$$.
$$\log_{x-1}(2x^2-4x+1)=2$$
$$2x^2-4x+1=(x-1)^2$$
$$2x^2-4x+1=x^2-2x+1$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=2$$
Проверим ОДЗ:
$$x-1>0,\quad x-1\ne 1$$
то есть $$x>1,\; x\ne 2$$.
Ни одно из найденных значений не подходит.
$$\frac{\log_2(x^2-x-16)-2}{\log_5(x-4)}=0$$
Числитель равен нулю:
$$\log_2(x^2-x-16)-2=0$$
$$\log_2(x^2-x-16)=2$$
$$x^2-x-16=4$$
$$x^2-x-20=0$$
$$D=1+80=81$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 9}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=5$$
ОДЗ:
$$x^2-x-16>0,\quad x-4>0,\quad \log_5(x-4)\ne 0$$
Отсюда $$x>4$$ и $$x\ne 5$$.
Значение $$x=5$$ не подходит, а $$x=-4$$ не входит в ОДЗ.
Корней нет.