Упр.389 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:

1) $$y=5^{\log(5,x-1)}$$;
4) $$y=e^{\ln(4-x^2)}$$;
2) $$y=2^{-\log(2,x)}$$;
5) $$y=\sqrt{\ln(\sin x)}$$;
3) $$y=10^{\lg(\sin x)}$$;
6) $$y=\sqrt{\left(\log(5,x)\right)^2}\cdot\log(x,5)$$.

Подробный ответ

$$y=5^{\log_5(x-1)}=x-1.$$
Так как логарифм определён при $$x-1>0,$$ то $$x>1.$$
График — луч прямой $$y=x-1$$ при $$x>1$$, с выколотой точкой $$\left(1,0\right).$$
$$y=2^{-\log_2 x}=2^{\log_2 x^{-1}}=x^{-1}=\frac{1}{x}.$$
Область определения: $$x>0.$$
График — ветвь гиперболы $$y=\frac{1}{x}$$ в первой четверти.
$$y=10^{\lg(\sin x)}=\sin x.$$
Но требуется $$\sin x>0,$$ поэтому область определения:
$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
График — участки синусоиды, расположенные выше оси $$Ox$$.
$$y=e^{\ln(4-x^2)}=4-x^2.$$
Область определения: $$4-x^2>0,$$ значит $$|x|<2.$$
График — часть параболы $$y=4-x^2$$ на промежутке $$-2<x<2$$, с выколотыми точками $$(-2,0)$$ и $$\left(2,0\right).$$
$$y=\sqrt{\ln(\sin x)}.$$
Для существования корня нужно:
$$\ln(\sin x)\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin x\ge 1.$$
Так как $$\sin x\le 1,$$ то возможно только
$$\sin x=1,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$y=\sqrt{\ln 1}=\sqrt{0}=0.$$
График — отдельные точки $$\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n,\,0\right).$$
$$y=\sqrt{\left(\log_5 x\right)^2\cdot \log_x 5}.$$
Используем формулу $$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}.$$ Тогда
$$y=\sqrt{\left(\log_5 x\right)^2\cdot \frac{1}{\log_5 x}} =\sqrt{\log_5 x}.$$
Для области определения нужно:
$$x>0,\quad x\ne 1,\quad \log_5 x\ge 0.$$
Отсюда $$x\ge 1,$$ но $$x=1$$ не подходит, значит
$$x>1.$$
Итак, график функции $$y=\sqrt{\log_5 x}$$ при $$x>1.$$

Ответ

1) $$y=x-1,\ x>1$$;
2) $$y=\frac{1}{x},\ x>0$$;
3) $$y=\sin x,\ 2\pi n<x<\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$y=4-x^2,\ |x|<2$$;
5) $$y=0,\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
6) $$y=\sqrt{\log_5 x},\ x>1$$.