Упр.389 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=5^log(5, x-1); 4) y=e^ln(4-x^2);
2) y=2^(-log(2, x)); 5) y=vln(sin(x));
3) y=10^lg(sin(x)); 6) y=v(log(5, x))^2·log(x, 5).

1. $$y=5^{\log_5(x-1)}=x-1.$$

   Так как логарифм определён при $$x-1>0,$$ то $$x>1.$$

   График — луч прямой $$y=x-1$$ при $$x>1$$, с выколотой точкой $$\left(1,0\right).$$

2. $$y=2^{-\log_2 x}=2^{\log_2 x^{-1}}=x^{-1}=\frac{1}{x}.$$

   Область определения: $$x>0.$$

   График — ветвь гиперболы $$y=\frac{1}{x}$$ в первой четверти.

3. $$y=10^{\lg(\sin x)}=\sin x.$$

   Но требуется $$\sin x>0,$$ поэтому область определения:

   $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   График — участки синусоиды, расположенные выше оси $$Ox$$.

4. $$y=e^{\ln(4-x^2)}=4-x^2.$$

   Область определения: $$4-x^2>0,$$ значит $$|x|<2.$$

   График — часть параболы $$y=4-x^2$$ на промежутке $$-2<x<2$$, с выколотыми точками $$(-2,0)$$ и $$\left(2,0\right).$$

5. $$y=\sqrt{\ln(\sin x)}.$$

   Для существования корня нужно:

   $$\ln(\sin x)\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin x\ge 1.$$

   Так как $$\sin x\le 1,$$ то возможно только

   $$\sin x=1,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$y=\sqrt{\ln 1}=\sqrt{0}=0.$$

   График — отдельные точки $$\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n,\,0\right).$$

6. $$y=\sqrt{\left(\log_5 x\right)^2\cdot \log_x 5}.$$

   Используем формулу $$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}.$$ Тогда

   $$ y=\sqrt{\left(\log_5 x\right)^2\cdot \frac{1}{\log_5 x}} =\sqrt{\log_5 x}. $$

   Для области определения нужно:

   $$x>0,\quad x\ne 1,\quad \log_5 x\ge 0.$$

   Отсюда $$x\ge 1,$$ но $$x=1$$ не подходит, значит

   $$x>1.$$

   Итак, график функции $$y=\sqrt{\log_5 x}$$ при $$x>1.$$

Ответ

1) $$y=x-1,\ x>1$$;
2) $$y=\frac{1}{x},\ x>0$$;
3) $$y=\sin x,\ 2\pi n<x<\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$y=4-x^2,\ |x|<2$$;
5) $$y=0,\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
6) $$y=\sqrt{\log_5 x},\ x>1$$.