Упр.385 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) y=ln((x+1)/(4-5x)); 4) y=(x-2)/log(2, x^2-8);
2) y=log(6, 4^x-3·2^x+2); 5) y=lg(5x-x^2)+1/lg(2-x);
3) y=lg(lg(x)); 6) y=log(x-2, x^2+x-3).
$$y=\ln\frac{x+1}{4-5x}$$
Для логарифма нужно, чтобы аргумент был положительным:
$$\frac{x+1}{4-5x}>0.$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=\frac45.$$
Знак дроби положителен на промежутке $$(-1;\frac45).$$
$$y=\log_6(4^x-3\cdot 2^x+2)$$
Требуется:
$$4^x-3\cdot 2^x+2>0.$$
Положим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-3t+2>0,$$
$$ (t-1)(t-2)>0.$$
Отсюда $$t<1$$ или $$t>2.$$ Значит,
$$2^x<1 \quad \text{или} \quad 2^x>2,$$
то есть
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>1.$$
$$y=\lg(\lg x)$$
Нужно, чтобы
$$\lg x>0.$$
Так как $$\lg x>0 \iff x>1,$$ то область определения:
$$x\in(1;+\infty).$$
$$y=\frac{x-2}{\log_2(x^2-8)}$$
Требуется:
$$x^2-8>0,$$
$$\log_2(x^2-8)\ne 0.$$
Из второго условия:
$$x^2-8\ne 1.$$
Получаем:
$$x^2>8,\quad x^2\ne 9.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;3)\cup(3;+\infty).$$
$$y=\lg(5x-x^2)+\frac{1}{\lg(2-x)}$$
Нужно, чтобы
$$5x-x^2>0,$$
$$\lg(2-x)\ne 0,$$
$$2-x>0.$$
Из первого условия:
$$x(5-x)>0 \iff 0<x<5.$$
Из второго и третьего:
$$2-x>0 \iff x<2,$$
$$\lg(2-x)\ne 0 \iff 2-x\ne 1 \iff x\ne 1.$$
Пересечение условий:
$$x\in(0;1)\cup(1;2).$$
$$y=\log_{x-2}(x^2+x-3)$$
Для области определения нужно:
$$x^2+x-3>0,$$
$$x-2>0,$$
$$x-2\ne 1.$$
Решим неравенство:
$$x^2+x-3>0.$$
Корни уравнения $$x^2+x-3=0$$:
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}.$$
Тогда
$$x<\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.$$
С учётом условий $$x>2$$ и $$x\ne 3$$ получаем:
$$x\in(2;3)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
1) $$(-1;\frac45)$$; 2) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; 3) $$ (1;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-3)\cup(-3;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;3)\cup(3;+\infty)$$; 5) $$ (0;1)\cup(1;2)$$; 6) $$ (2;3)\cup(3;+\infty)$$.
