Упр.382 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 3^x-5·6^(x/2)-50·2^x=0; 3) 5^(2x+1)-3·10^x=2^(2x+1);
2) 3^(2x+4)+45·6^x-9·2^(2x+2)=0; 4) 7·4^x^2-9·14^x^2+2·49^x^2=0.

Подробный ответ

$$3^x-5\cdot 6^{x/2}-50\cdot 2^x=0$$
$$3^x-5\cdot (2\cdot 3)^{x/2}-50\cdot 2^x=0$$
$$3^x-5\cdot 2^{x/2}3^{x/2}-50\cdot 2^x=0$$
Разделим на $$2^x$$ и введём замену $$t=\left(\frac32\right)^x$$:
$$\left(\frac32\right)^x-5\left(\frac32\right)^{x/2}-50=0$$
$$t^2-5t-50=0$$
$$D=25+200=225$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 15}{2}$$
$$t_1=-5,\quad t_2=10$$
Так как $$t=\left(\frac32\right)^x>0,$$ то подходит только $$t=10$$.
Тогда
$$\left(\frac32\right)^x=10$$
$$x=\log_{3/2}10.$$
$$3^{2x+4}+45\cdot 6^x-9\cdot 2^{2x+2}=0$$
$$81\cdot 3^{2x}+45\cdot 2^x3^x-36\cdot 2^{2x}=0$$
$$81\left(\frac32\right)^{2x}+45\left(\frac32\right)^x-36=0$$
Разделим на $$9$$ и введём замену $$t=\left(\frac32\right)^x$$:
$$9t^2+5t-4=0$$
$$D=25+144=169$$
$$t_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{18}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=\frac49$$
Так как $$t>0,$$ то
$$\left(\frac32\right)^x=\frac49=\left(\frac23\right)^2$$
$$x=-2.$$
$$5^{2x+1}-3\cdot 10^x=2^{2x+1}$$
$$5\cdot 5^{2x}-3\cdot 2^x5^x-2\cdot 2^{2x}=0$$
$$5\left(\frac52\right)^{2x}-3\left(\frac52\right)^x-2=0$$
Введём замену $$t=\left(\frac52\right)^x$$:
$$5t^2-3t-2=0$$
$$D=9+40=49$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{10}$$
$$t_1=-\frac25,\quad t_2=1$$
Так как $$t>0,$$ то
$$\left(\frac52\right)^x=1$$
$$x=0.$$
$$7\cdot 4^{x^2}-9\cdot 14^{x^2}+2\cdot 49^{x^2}=0$$
$$7\left(\frac27\right)^{2x^2}-9\left(\frac27\right)^{x^2}+2=0$$
Введём замену $$t=\left(\frac27\right)^{x^2}$$:
$$7t^2-9t+2=0$$
$$D=81-56=25$$
$$t_{1,2}=\frac{9\pm 5}{14}$$
$$t_1=\frac27,\quad t_2=1$$
Тогда
$$\left(\frac27\right)^{x^2}=\frac27 \quad \text{или} \quad \left(\frac27\right)^{x^2}=1.$$
Отсюда
$$x^2=1 \quad \text{или} \quad x^2=0,$$
значит,
$$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=0.$$