Упр.381 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 25^x-2·5^x-15 > 0; 4) (1/9)^x-6·(1/3)^x-27?0;
2) 4^(x+1)-9·2^x+2?0; 5) (1/4)^x-2^(1-x)-8?0;
3) 3^(x+2)-28·3^(0,5x)+3?0; 6) 7^x+7^(2-x)-50?0;

1. $$25^x-2\cdot 5^x-15>0$$
   Обозначим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
   $$t^2-2t-15>0$$
   $$\left(t-5\right)\left(t+3\right)>0$$
   Так как $$t>0$$, то подходит только:
   $$t>5$$
   Значит,
   $$5^x>5$$
   $$x>1$$

2. $$4^{x+1}-9\cdot 2^x+2\le 0$$
   $$4\cdot 4^x-9\cdot 2^x+2\le 0$$
   Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=t^2$$. Получаем:
   $$4t^2-9t+2\le 0$$
   $$\left(4t-1\right)\left(t-2\right)\le 0$$
   Отсюда
   $$\frac14\le t\le 2$$
   Значит,
   $$\frac14\le 2^x\le 2$$
   $$-2\le x\le 1$$

3. $$3^{x+2}-28\cdot 3^{0.5x}+3\ge 0$$
   $$9\cdot 3^x-28\cdot 3^{0.5x}+3\ge 0$$
   Обозначим $$t=3^{0.5x}$$, тогда $$t>0$$ и $$3^x=t^2$$. Получаем:
   $$9t^2-28t+3\ge 0$$
   $$\left(9t-1\right)\left(t-3\right)\ge 0$$
   Отсюда
   $$t\le \frac19 \quad \text{или} \quad t\ge 3$$
   Значит,
   $$3^{0.5x}\le \frac19 \quad \text{или} \quad 3^{0.5x}\ge 3$$
   $$0.5x\le -2 \quad \text{или} \quad 0.5x\ge 1$$
   $$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 2$$

4. $$\left(\frac19\right)^x-6\left(\frac13\right)^x-27\le 0$$
   $$3^{-2x}-6\cdot 3^{-x}-27\le 0$$
   Обозначим $$t=3^{-x}$$, тогда $$t>0$$ и $$3^{-2x}=t^2$$. Получаем:
   $$t^2-6t-27\le 0$$
   $$\left(t+3\right)\left(t-9\right)\le 0$$
   Отсюда
   $$-3\le t\le 9$$
   Так как $$t>0$$, то
   $$0<t\le 9$$
   $$3^{-x}\le 9=3^2$$
   $$-x\le 2$$
   $$x\ge -2$$

5. $$\left(\frac14\right)^x-2^{1-x}-8\ge 0$$
   $$2^{-2x}-2\cdot 2^{-x}-8\ge 0$$
   Обозначим $$t=2^{-x}$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
   $$t^2-2t-8\ge 0$$
   $$\left(t+2\right)\left(t-4\right)\ge 0$$
   Так как $$t>0$$, то
   $$t\ge 4$$
   $$2^{-x}\ge 2^2$$
   $$-x\ge 2$$
   $$x\le -2$$

6. $$7^x+7^{2-x}-50\ge 0$$
   $$7^x+49\cdot 7^{-x}-50\ge 0$$
   Обозначим $$t=7^x$$, тогда $$t>0$$ и $$7^{-x}=\frac1t$$. Умножим неравенство на $$t>0$$:
   $$t^2-50t+49\ge 0$$
   $$\left(t-1\right)\left(t-49\right)\ge 0$$
   Отсюда
   $$t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge 49$$
   Значит,
   $$7^x\le 1 \quad \text{или} \quad 7^x\ge 49$$
   $$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 2$$

Ответ

1) $$\left(1;+\infty\right)$$;
2) $$\left[-2;1\right]$$;
3) $$\left(-\infty;-4\right]\cup\left[2;+\infty\right)$$;
4) $$\left[-2;+\infty\right)$$;
5) $$\left(-\infty;-2\right]$$;
6) $$\left(-\infty;0\right]\cup\left[2;+\infty\right)$$.