Упр.380 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 4^x-14·2^x-32=0; 6) 9-2^x=2^(3-x);
2) 9^x+3^x-6=0; 7) 2^(sin(x))^2+5·2^(cos(x))^2=7;
3) 49^x+2·7^x-35=0; 8) (0,2)^(2x-2)-126·(0,2)^x+5=0;
4) (16-3^(2x))/(3^x+4)=1; 9) 3^(1+v(x+1))=28-3^(2-v(x+1));
5) 8^(2/x)-2^((3x+3)/x)+12=0; 10) 5/3^(x-1)-2/(3^x-1)=4.

1. $$4^x-14\cdot 2^x-32=0$$
   
   Положим $$2^x=t,\; t>0.$$ Тогда $$4^x=(2^x)^2=t^2$$, и получаем:
   $$t^2-14t-32=0.$$
   $$D=14^2+4\cdot 32=196+128=324,$$
   $$t_{1,2}=\frac{14\pm 18}{2}.$$
   $$t_1=-2,\quad t_2=16.$$
   Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=16$$:
   $$2^x=16=2^4,\quad x=4.$$
2. $$9^x+3^x-6=0$$
   
   Положим $$3^x=t,\; t>0.$$ Тогда $$9^x=(3^x)^2=t^2$$:
   $$t^2+t-6=0.$$
   $$D=1+24=25,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$
   $$t_1=-3,\quad t_2=2.$$
   Подходит $$t=2$$:
   $$3^x=2,\quad x=\log_3 2.$$
3. $$49^x+2\cdot 7^x-35=0$$
   
   Положим $$7^x=t,\; t>0.$$ Тогда $$49^x=t^2$$:
   $$t^2+2t-35=0.$$
   $$D=4+140=144,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{2}.$$
   $$t_1=-7,\quad t_2=5.$$
   Подходит $$t=5$$:
   $$7^x=5,\quad x=\log_7 5.$$
4. $$\frac{16-3^{2x}}{3^x+4}=1$$
   
   Так как $$3^x+4>0,$$ умножим на знаменатель:
   $$16-3^{2x}=3^x+4.$$
   Положим $$3^x=t,\; t>0.$$ Тогда $$3^{2x}=t^2$$:
   $$16-t^2=t+4,$$
   $$t^2+t-12=0.$$
   $$D=1+48=49,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
   $$t_1=-4,\quad t_2=3.$$
   Подходит $$t=3$$:
   $$3^x=3,\quad x=1.$$
5. $$8^{\frac{2}{x}}-2^{\frac{3x+3}{x}}+12=0$$
   
   Область определения: $$x\ne 0.$$ Перепишем через основание $$2$$:
   $$8^{\frac{2}{x}}=2^{\frac{6}{x}},\qquad 2^{\frac{3x+3}{x}}=2^{3+\frac{3}{x}}.$$
   Положим $$t=2^{\frac{1}{x}},\; t>0.$$ Тогда
   $$2^{\frac{6}{x}}=t^6,\qquad 2^{3+\frac{3}{x}}=8t^3.$$
   Получаем:
   $$t^6-8t^3+12=0.$$
   Положим $$u=t^3>0$$:
   $$u^2-8u+12=0,$$
   $$D=64-48=16,$$
   $$u_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}.$$
   $$u_1=2,\quad u_2=6.$$
   Тогда
   $$2^{\frac{3}{x}}=2 \quad \text{или} \quad 2^{\frac{3}{x}}=6.$$
   Отсюда
   $$\frac{3}{x}=1 \Rightarrow x=3,$$
   $$\frac{3}{x}=\log_2 6 \Rightarrow x=\frac{3}{\log_2 6}=\log_6 8.$$
6. $$9-2^x=2^{3-x}$$
   
   Преобразуем:
   $$9\cdot 2^x-2^{2x}=2^3,$$
   $$2^{2x}-9\cdot 2^x+8=0.$$
   Положим $$t=2^x,\; t>0.$$ Тогда
   $$t^2-9t+8=0.$$
   $$D=81-32=49,$$
   $$t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}.$$
   $$t_1=1,\quad t_2=8.$$
   Значит,
   $$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
   $$2^x=8 \Rightarrow x=3.$$
7. $$2^{\sin^2 x}+5\cdot 2^{\cos^2 x}=7$$
   
   Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ имеем:
   $$2^{1-\cos^2 x}+5\cdot 2^{\cos^2 x}=7.$$
   Положим $$t=2^{\cos^2 x},\; t>0.$$ Тогда
   $$\frac{2}{t}+5t=7.$$
   Умножим на $$t$$:
   $$5t^2-7t+2=0.$$
   $$D=49-40=9,$$
   $$t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{10}.$$
   $$t_1=\frac{2}{5},\quad t_2=1.$$
   Если $$t=1,$$ то $$2^{\cos^2 x}=1,$$ значит $$\cos^2 x=0,$$ откуда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Если $$t=\frac{2}{5},$$ то $$\cos^2 x=\log_2\frac{2}{5},$$ что невозможно, так как $$\cos^2 x\in[0,1].$$
8. $$(0{,}2)^{2x-2}-126\cdot (0{,}2)^x+5=0$$
   
   Так как $$0{,}2=\frac15,$$ получаем:
   $$\left(\frac15\right)^{2x-2}-126\left(\frac15\right)^x+5=0.$$
   Положим $$t=\left(\frac15\right)^x,\; t>0.$$ Тогда
   $$25t^2-126t+5=0.$$
   $$D=126^2-4\cdot 25\cdot 5=15876-500=15376=124^2,$$
   $$t_{1,2}=\frac{126\pm 124}{50}.$$
   $$t_1=\frac{1}{25},\quad t_2=5.$$
   Тогда
   $$\left(\frac15\right)^x=\frac{1}{25}=\left(\frac15\right)^2 \Rightarrow x=2,$$
   $$\left(\frac15\right)^x=5=\left(\frac15\right)^{-1} \Rightarrow x=-1.$$
9. $$3^{1+\sqrt{x+1}}=28-3^{2-\sqrt{x+1}}$$
   
   Область определения: $$x\ge -1.$$ Положим $$t=3^{\sqrt{x+1}},\; t>0.$$ Тогда
   $$3^{1+\sqrt{x+1}}=3t,\qquad 3^{2-\sqrt{x+1}}=\frac{9}{t}.$$
   Получаем:
   $$3t=28-\frac{9}{t}.$$
   Умножим на $$t$$:
   $$3t^2-28t+9=0.$$
   $$D=28^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676,$$
   $$t_{1,2}=\frac{28\pm 26}{6}.$$
   $$t_1=\frac13,\quad t_2=9.$$
   Но $$t=3^{\sqrt{x+1}}\ge 1,$$ значит $$t=\frac13$$ не подходит. Тогда
   $$3^{\sqrt{x+1}}=9=3^2,$$
   $$\sqrt{x+1}=2,$$
   $$x=3.$$
10. $$\frac{5}{3^{x-1}}-\frac{2}{3^x-1}=4$$
    
    Область определения: $$3^x-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne 0.$$ Положим $$t=3^x,\; t>0,\; t\ne 1.$$ Тогда
    $$\frac{5}{3^{x-1}}=\frac{15}{3^x}=\frac{15}{t}.$$
    Получаем:
    $$\frac{15}{t}-\frac{2}{t-1}=4.$$
    Умножим на $$t(t-1)$$:
    $$15(t-1)-2t=4t(t-1).$$
    $$15t-15-2t=4t^2-4t,$$
    $$4t^2-17t+15=0.$$
    $$D=17^2-4\cdot 4\cdot 15=289-240=49,$$
    $$t_{1,2}=\frac{17\pm 7}{8}.$$
    $$t_1=\frac54,\quad t_2=3.$$
    Тогда
    $$3^x=\frac54 \Rightarrow x=\log_3\frac54,$$
    $$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

Ответ

1) $$4$$; 2) $$\log_3 2$$; 3) $$\log_7 5$$; 4) $$1$$; 5) $$3,\ \log_6 8$$; 6) $$0,\ 3$$; 7) $$\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 8) $$-1,\ 2$$; 9) $$3$$; 10) $$\log_3\frac54,\ 1$$.