Упр.38.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) z=2t+1; 2) u=vt; 3) s=t^2-4t.

Плотность равномерного распределения на отрезке $$[0;1]$$ равна $$f_t(t)=1$$ при $$t\in[0;1]$$ и $$0$$ вне этого отрезка.

1. $$z=2t+1$$

   Выразим $$t$$ через $$z$$:

   $$t=\frac{z-1}{2}$$

   Так как $$t\in[0;1]$$, то $$z\in[1;3]$$.

   Тогда функция распределения:

   $$F_z(x)=P(z\le x)=P\!\left(t\le \frac{x-1}{2}\right)=\frac{x-1}{2}, \quad x\in[1;3].$$

   Следовательно, плотность:

   $$p_z(x)=F_z'(x)=\frac12,\quad x\in[1;3].$$

   И вне этого промежутка плотность равна нулю.

2. $$u=\sqrt{t}$$

   Тогда $$t=u^2$$, а при $$t\in[0;1]$$ получаем $$u\in[0;1]$$.

   Функция распределения:

   $$F_u(x)=P(u\le x)=P(\sqrt{t}\le x)=P(t\le x^2)=x^2,\quad x\in[0;1].$$

   Тогда плотность:

   $$p_u(x)=F_u'(x)=2x,\quad x\in[0;1].$$

   Вне отрезка $$[0;1]$$ плотность равна нулю.

3. $$s=t^2-4t=(t-2)^2-4$$

   При $$t\in[0;1]$$ имеем:

   $$s_{\min}=0^2-4\cdot 0=0,\qquad s_{\max}=1^2-4\cdot 1=-3.$$

   Значит, $$s\in[-3;0]$$.

   Для $$x\in[-3;0]$$:

   $$F_s(x)=P(s\le x)=P(t^2-4t\le x).$$

   На отрезке $$[0;1]$$ функция $$t^2-4t$$ убывает, поэтому

   $$F_s(x)=P\!\left(t\ge 2-\sqrt{x+4}\right)=1-\left(2-\sqrt{x+4}\right)=\sqrt{x+4}-1.$$

   Тогда плотность:

   $$p_s(x)=F_s'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}},\quad x\in[-3;0].$$

   Вне этого промежутка плотность равна нулю.

Ответ

$$ p_z(x)= \begin{cases} \frac12, & x\in[1;3],\\ 0, & x\notin[1;3], \end{cases} \qquad p_u(x)= \begin{cases} 2x, & x\in[0;1],\\ 0, & x\notin[0;1], \end{cases} \qquad p_s(x)= \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{x+4}}, & x\in[-3;0],\\ 0, & x\notin[-3;0]. \end{cases} $$