Упр.379 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$4^x-3\cdot4^{x-2}>13$$;
2. $$5^{x+1}+5^{x-2}<630$$;
3. $$0{,}5^{x+3}-0{,}5^{x+2}+0{,}5^{x+1}<0{,}375$$;
4. $$3^{x+1}-2\cdot3^{x-1}-4\cdot3^{x-2}>17$$;
5. $$4^{x-2}-3\cdot2^{2x-1}+5\cdot64^{\frac{x}{3}}\mathrel{?}228$$;
6. $$6\cdot0{,}5^{x+2}+0{,}5^{x-3}\mathrel{?}19$$.

1. $$4^x-3\cdot 4^{x-2}>13$$
   $$4^x-3\cdot \frac{1}{16}\cdot 4^x>13$$
   $$\frac{13}{16}\cdot 4^x>13$$
   $$4^x>16=4^2$$
   $$x>2$$

2. $$5^{x+1}+5^{x-2}<630$$ $$5\cdot 5^x+\frac{1}{25}\cdot 5^x<630$$ $$5^x\left(5+\frac{1}{25}\right)<630$$ $$5^x\cdot \frac{126}{25}<630$$ $$5^x<125=5^3$$ $$x<3$$

3. $$0{,}5^{x+3}-0{,}5^{x+2}+0{,}5^{x+1}<0{,}375$$ $$0{,}5^{x+1}\left(0{,}5^2-0{,}5+1\right)<0{,}375$$ $$0{,}5^{x+1}\cdot 0{,}75<0{,}375$$ $$0{,}5^{x+1}<0{,}5$$ $$0{,}5^{x+1}>0{,}5^1$$
   $$x+1<1$$ $$x<0$$

4. $$3^{x+1}-2\cdot 3^{x-1}-4\cdot 3^{x-2}>17$$
   $$3^x\left(3-\frac{2}{3}-\frac{4}{9}\right)>17$$
   $$3^x\cdot \frac{17}{9}>17$$
   $$3^x>9=3^2$$
   $$x>2$$

5. $$4^{x-2}-3\cdot 2^{2x-1}+5\cdot 64^{x/3}\le 228$$
   $$2^{2x-4}-3\cdot 2^{2x-1}+5\cdot 2^{2x}\le 228$$
   $$2^{2x}\left(\frac{1}{16}-\frac{3}{2}+5\right)\le 228$$
   $$2^{2x}\cdot \frac{57}{16}\le 228$$
   $$2^{2x}\le 64=2^6$$
   $$2x\le 6$$
   $$x\le 3$$

6. $$6\cdot 0{,}5^{x+2}+0{,}5^{x-3}\ge 19$$
   $$6\cdot 0{,}25\cdot 0{,}5^x+8\cdot 0{,}5^x\ge 19$$
   $$1{,}5\cdot 0{,}5^x+8\cdot 0{,}5^x\ge 19$$
   $$9{,}5\cdot 0{,}5^x\ge 19$$
   $$0{,}5^x\ge 2$$
   $$0{,}5^x\ge 0{,}5^{-1}$$
   $$x\le -1$$

Ответ

1) $$\left(2;+\infty\right)$$;
2) $$\left(-\infty;3\right)$$;
3) $$\left(-\infty;0\right)$$;
4) $$\left(2;+\infty\right)$$;
5) $$\left(-\infty;3\right]$$;
6) $$\left(-\infty;-1\right]$$.