Упр.369 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 369. Сколько корней уравнения sin(3x)-sin(x)+cos(2x)=0 принадлежат промежутку [-?/2; ?]?

Преобразуем уравнение:

$$\sin 3x-\sin x+\cos 2x=0$$

Используем формулу $$\sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x$$, а также тождество $$\sin 3x-\sin x=2\sin x\cos 2x$$. Тогда

$$2\sin x\cos 2x+\cos 2x=0$$

$$\cos 2x\,(2\sin x+1)=0.$$

Отсюда получаем два случая.

1. $$\cos 2x=0$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2. $$2\sin x+1=0$$

   $$\sin x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь выбираем корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Из первого семейства получаем:

$$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4}.$$

Из второго семейства подходит только:

$$x=-\frac{\pi}{6}.$$

Итак, на данном промежутке уравнение имеет 3 корня.

Ответ

3