Упр.368 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 368. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения (sin(x))^3 cos(x)=0,25-(cos(x))^3 sin(x).

Преобразуем уравнение:

$$\sin^3 x \cos x = 0{,}25 — \cos^3 x \sin x$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = 0{,}25$$

$$\sin x \cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=\frac14$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем:

$$\sin x \cos x=\frac14$$

Умножим обе части на 2:

$$2\sin x \cos x=\frac12$$

$$\sin 2x=\frac12$$

Решаем тригонометрическое уравнение:

$$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{12}+\pi n,$$

$$n\in\mathbb{Z}.$$

Найдём наибольший отрицательный корень. Для первой серии при $$n=-1$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{12}-\pi=-\frac{11\pi}{12},$$

для второй серии при $$n=-1$$ получаем

$$x=\frac{5\pi}{12}-\pi=-\frac{7\pi}{12}.$$

Сравниваем: $$-\frac{7\pi}{12} > -\frac{11\pi}{12},$$ значит это и есть наибольший отрицательный корень.

Ответ

$$-\frac{7\pi}{12}$$