Упр.367 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите наименьший положительный корень уравнения $$\left(\sin(x)\right)^2-0{,}5\sin(2x)=1$$.

Преобразуем уравнение:

$$\sin^2 x-0{,}5\sin 2x=1$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

$$\sin^2 x-\sin x\cos x=1.$$

Перенесём всё в одну сторону и заменим $$1$$ на $$\sin^2 x+\cos^2 x$$:

$$\sin^2 x-\sin x\cos x-\sin^2 x-\cos^2 x=0$$

$$-\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

$$\cos x(\sin x+\cos x)=0.$$

Отсюда:

1. $$\cos x=0,$$ тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\sin x+\cos x=0,$$ тогда

   $$\tan x=-1,$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Наименьший положительный корень среди найденных значений — $$\frac{\pi}{2}$$.

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$