Упр.366 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(2x)/(1+cos(2x))=0; 3) sin(2x)/(1-sin(x))=2cos(x);
2) (sin(x)+sin(3x))/(cos(x)-cos(3x))=0;
4) (1+cos(x)-sin(x))/cos(x)=0.

1. $$\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=0$$
   
   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$\sin 2x=0,\qquad 1+\cos 2x\ne 0.$$
   Тогда
   $$2x=\pi n,\qquad \cos 2x\ne -1.$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi n}{2},\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$
   Подходят все чётные значения $n$, то есть
   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\frac{\sin x+\sin 3x}{\cos x-\cos 3x}=0$$
   
   Используем формулы приведения:
   $$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x,$$
   $$\cos x-\cos 3x=-2\sin 2x\sin x.$$
   Тогда
   $$\frac{2\sin 2x\cos x}{-2\sin 2x\sin x}=0.$$
   Для нуля дроби нужен нулевой числитель:
   $$2\sin 2x\cos x=0,$$
   при этом
   $$\sin 2x\ne 0,\qquad \sin x\ne 0.$$
   Из условия числителя получаем
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$
   Но $\sin 2x=0$ запрещено, значит
   $$\cos x=0,$$
   то есть
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
   Проверка знаменателя:
   $$\sin x\ne 0$$
   выполняется для этих значений. Однако при $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ числитель
   $$\sin x+\sin 3x=0,$$
   а знаменатель
   $$\cos x-\cos 3x=0,$$
   поэтому таких значений нет.
3. $$\frac{\sin 2x}{1-\sin x}=2\cos x$$
   
   Умножим на $1-\sin x$:
   $$\sin 2x=2\cos x(1-\sin x).$$
   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем
   $$2\sin x\cos x=2\cos x-2\sin x\cos x.$$
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$4\sin x\cos x-2\cos x=0,$$
   $$2\cos x(2\sin x-1)=0.$$
   Отсюда
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$
   При этом из знаменателя:
   $$1-\sin x\ne 0 \Rightarrow \sin x\ne 1.$$
   Поэтому
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   или
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
4. $$\frac{1+\cos x-\sin x}{\cos x}=0$$
   
   Дробь равна нулю, если
   $$1+\cos x-\sin x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$
   Тогда
   $$\sin x-\cos x=1.$$
   Представим левую часть через косинус суммы:
   $$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
   Получаем
   $$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$
   Отсюда
   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$
   Но при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ имеем $$\cos x=0,$$ поэтому эти значения не подходят.
   Остаётся
   $$x=\pi+2\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) корней нет; 3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 4) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.