Упр.365 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(60°+x)cos(x-30°)=1;
2) cos(6x)cos(x)=cos(5x);
3) sin(6x)cos(4x)=sin(10x)cos(8x);
4) 4(sin(2x))^2=3-2sin(6x)sin(2x).

1) $$\sin(60^\circ+x)\cos(x-30^\circ)=1$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin A\cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).$$

Тогда

$$\sin(60^\circ+x)\cos(x-30^\circ)=\frac12\bigl(\sin(2x+30^\circ)+\sin 90^\circ\bigr)=1.$$

Так как $$\sin 90^\circ=1,$$ получаем

$$\frac12\bigl(\sin(2x+30^\circ)+1\bigr)=1,$$

$$\sin(2x+30^\circ)=1.$$

Следовательно,

$$2x+30^\circ=90^\circ+360^\circ n,$$

$$2x=60^\circ+360^\circ n,$$

$$x=30^\circ+180^\circ n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 6x\cdot \cos x=\cos 5x$$

Применим формулу:

$$\cos A\cos B=\frac12\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr).$$

Тогда

$$\cos 6x\cdot \cos x=\frac12(\cos 7x+\cos 5x).$$

Получаем

$$\frac12(\cos 7x+\cos 5x)=\cos 5x,$$

$$\cos 7x-\cos 5x=0.$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos C-\cos D=-2\sin\frac{C+D}{2}\sin\frac{C-D}{2}.$$

Тогда

$$-2\sin 6x\sin x=0,$$

$$\sin 6x\sin x=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 6x=0.$$

Значит,

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{6},$$ ответ можно записать короче:

$$x=\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin 6x\cos 4x=\sin 10x\cos 8x$$

Преобразуем обе части по формуле произведения в сумму:

$$\sin A\cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).$$

Тогда

$$\sin 6x\cos 4x=\frac12(\sin 10x+\sin 2x),$$

$$\sin 10x\cos 8x=\frac12(\sin 18x+\sin 2x).$$

Следовательно,

$$\frac12(\sin 10x+\sin 2x)=\frac12(\sin 18x+\sin 2x),$$

$$\sin 10x=\sin 18x.$$

Перенесём в одну сторону и применим формулу разности синусов:

$$\sin 10x-\sin 18x=0,$$

$$2\cos 14x\sin(-4x)=0,$$

$$\cos 14x\sin 4x=0.$$

Отсюда

$$\cos 14x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0.$$

1) $$\cos 14x=0 \Rightarrow 14x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{28}+\frac{\pi n}{14}.$$

2) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{28}+\frac{\pi n}{14}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$4\sin^2 2x=3-2\sin 6x\sin 2x$$

Используем формулы:

$$4\sin^2 2x=2-2\cos 4x,$$

$$2\sin 6x\sin 2x=\cos 4x-\cos 8x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2-2\cos 4x=3-(\cos 4x-\cos 8x),$$

$$1+\cos 4x+\cos 8x=0.$$

Положим $$t=\cos 4x.$$ Тогда

$$\cos 8x=2\cos^2 4x-1=2t^2-1.$$

Получаем

$$1+t+(2t^2-1)=0,$$

$$2t^2+t=0,$$

$$t(2t+1)=0.$$

Значит,

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=-\frac12.$$

1) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

2) $$\cos 4x=-\frac12 \Rightarrow 4x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

1) $$x=30^\circ+180^\circ n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi}{28}+\frac{\pi n}{14}\ \text{или}\ x=\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}\ \text{или}\ x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$