Упр.364 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(x)-v3sin(x)=1;
2) cos(x)+sin(x)=v2sin(2x).

1. $$\cos x-\sqrt{3}\sin x=1$$

   Разделим обе части на $$2$$:

   $$\frac12\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x=\frac12$$

   Представим левую часть в виде косинуса суммы:

   $$\cos\frac{\pi}{3}\cos x-\sin\frac{\pi}{3}\sin x=\frac12$$

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12$$

   Тогда

   $$x+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Отсюда

   $$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\cos x+\sin x=\sqrt2\sin 2x$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x=\sin 2x$$

   $$\sin\frac{\pi}{4}\cos x+\cos\frac{\pi}{4}\sin x=\sin 2x$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2x$$

   Используем формулу $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$:

   $$2\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{x}{2}\right)=0$$

   Тогда

   $$\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{x}{2}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0$$

   1) $$\frac{\pi}{8}-\frac{x}{2}=\pi n$$, откуда

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$

   2) $$\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, откуда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3}$$

Ответ

1) $$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$