Упр.363 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (cos(x))^2+(sin(3x))^2=1;
2) (sin(x))^2+(sin(2x))^2-(cos(3x))^2=0,5.

1. $$\cos^2 x+\sin^2 3x=1$$
   
   Используем формулы:
   $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}.$$
   Тогда
   $$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=1,$$
   $$1+\cos 2x-\cos 6x=1,$$
   $$\cos 2x=\cos 6x.$$
   По формуле разности косинусов:
   $$\cos 2x-\cos 6x=-2\sin 4x\sin(-2x)=2\sin 4x\sin 2x,$$
   значит
   $$2\sin 4x\sin 2x=0.$$
   Отсюда
   $$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$
   Тогда
   $$4x=\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{2}.$$
   Второе множество входит в первое, поэтому
   $$x=\frac{\pi n}{4}, \quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\sin^2 x+\sin^2 2x-\cos^2 3x=\frac12$$
   
   Преобразуем квадраты тригонометрических функций:
   $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 3x=\frac{1+\cos 6x}{2}.$$
   Подставим:
   $$\frac{1-\cos 2x}{2}+\sin^2 2x-\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac12.$$
   Умножим на 2:
   $$1-\cos 2x+2\sin^2 2x-1-\cos 6x=1.$$
   Так как
   $$2\sin^2 2x=1-\cos 4x,$$
   получаем
   $$-\cos 2x-\cos 6x-\cos 4x=0,$$
   $$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0.$$
   Используем формулу
   $$\cos 2x+\cos 6x=2\cos 4x\cos 2x,$$
   тогда
   $$2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0,$$
   $$\cos 4x\,(2\cos 2x+1)=0.$$
   Следовательно,
   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12.$$
   1) Если $$\cos 4x=0,$$ то
   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$
   
   2) Если $$\cos 2x=-\frac12,$$ то
   $$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{4}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \quad x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$