Упр.362 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(4x)+cos(6x)=0; 3) cos(x)+cos(7x)=cos(3x)+cos(5x);
2) sin(8x)=2cos(3?/2-4x); 4) sin(3x)-2sin(x)=0.

1. $$\cos 4x+\cos 6x=0$$

   Используем формулу суммы косинусов:
   $$\cos 4x+\cos 6x=2\cos 5x\cos x.$$

   Тогда
   $$2\cos 5x\cos x=0,$$
   откуда
   $$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

   Если $$\cos 5x=0,$$ то
   $$5x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}.$$

   Если $$\cos x=0,$$ то
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2. $$\sin 8x=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}-4x\right)$$

   Так как
   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-4x\right)=-\sin 4x,$$
   получаем
   $$\sin 8x=-2\sin 4x.$$

   По формуле двойного угла:
   $$2\sin 4x\cos 4x=-2\sin 4x.$$

   Переносим в одну сторону и выносим общий множитель:
   $$\sin 4x(\cos 4x+1)=0.$$

   Тогда
   $$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=-1.$$

   Из $$\sin 4x=0$$ получаем
   $$4x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{4}.$$

   Уравнение $$\cos 4x=-1$$ даёт те же решения:
   $$4x=\pi+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$
   что входит в общий вид $$x=\frac{\pi n}{4}.$$

3. $$\cos x+\cos 7x=\cos 3x+\cos 5x$$

   Преобразуем суммы:
   $$\cos x+\cos 7x=2\cos 4x\cos 3x,$$
   $$\cos 3x+\cos 5x=2\cos 4x\cos x.$$

   Тогда
   $$2\cos 4x\cos 3x=2\cos 4x\cos x,$$
   $$2\cos 4x(\cos 3x-\cos x)=0.$$

   Используем формулу разности косинусов:
   $$\cos 3x-\cos x=-2\sin 2x\sin x.$$

   Получаем
   $$\cos 4x\cdot(-2)\sin 2x\sin x=0.$$

   Отсюда
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

   Поэтому
   $$x=\pi n,$$
   $$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$
   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

4. $$\sin 3x-2\sin x=0$$

   Используем формулу:
   $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x.$$

   Тогда
   $$3\sin x-4\sin^3 x-2\sin x=0,$$
   $$\sin x-4\sin^3 x=0,$$
   $$\sin x(1-4\sin^2 x)=0.$$

   Значит,
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin^2 x=\frac14.$$

   Если $$\sin x=0,$$ то
   $$x=\pi n.$$

   Если $$\sin x=\pm \frac12,$$ то
   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{11\pi}{6}+2\pi n.$$

   Это можно записать короче:
   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$x=\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$x=\pi n,\ \ x=\frac{\pi n}{2},\ \ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z;$$
4) $$x=\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \ x=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$