Упр.361 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$3\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0$$;
   3) $$4\sin^2(x)+\sin(2x)=3$$;
   2) $$3\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)-\cos^2(x)=0$$;
   4) $$\sin(x)-4\cos(x)=1$$.

1. $$3\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$
   $$3\tg x-\sqrt{3}=0$$
   $$\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
   $$x=\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$3\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$
   $$3\tg^2 x-2\tg x-1=0$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16$$
   $$\tg x=\frac{2\pm 4}{2\cdot 3}$$
   $$\tg x_1=-\frac{1}{3},\quad \tg x_2=1$$
   $$x_1=-\arctg\frac{1}{3}+\pi n,\quad x_2=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$4\sin^2 x+\sin 2x=3$$
   $$4\sin^2 x+2\sin x\cos x=3(\sin^2 x+\cos^2 x)$$
   $$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$
   $$\tg^2 x+2\tg x-3=0$$
   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$
   $$\tg x=\frac{-2\pm 4}{2}$$
   $$\tg x_1=-3,\quad \tg x_2=1$$
   $$x_1=-\arctg 3+\pi n,\quad x_2=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\sin x-4\cos x=1$$
   $$\sin x-4\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}$$
   $$3\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-5\cos^2\frac{x}{2}=0$$
   $$3\tg^2\frac{x}{2}+2\tg\frac{x}{2}-5=0$$
   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64$$
   $$\tg\frac{x}{2}=\frac{-2\pm 8}{6}$$
   $$\tg\frac{x}{2}=-\frac{5}{3},\quad \tg\frac{x}{2}=1$$
   $$\frac{x}{2}=-\arctg\frac{5}{3}+\pi n,\quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
   $$x=-2\arctg\frac{5}{3}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

2) $$x=-\arctg\frac{1}{3}+\pi n,\ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

3) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

4) $$x=-2\arctg\frac{5}{3}+2\pi n,\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$