Упр.360 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 6(cos(x))^2+5sin(x)-7=0; 2) cos(2x)-3sin(x)=2;
2) (sin(3x))^2+3cos(3x)=3; 4) 2tg(x/3)+2ctg(x/3)=5.

1. $$6\cos^2 x+5\sin x-7=0.$$
   Выразим $$\cos^2 x$$ через $$\sin x$$:
   $$6(1-\sin^2 x)+5\sin x-7=0,$$
   $$6\sin^2 x-5\sin x+1=0.$$
   Решим квадратное уравнение:
   $$D=25-24=1.$$
   Тогда
   $$\sin x_1=\frac{5-1}{12}=\frac13,\qquad \sin x_2=\frac{5+1}{12}=\frac12.$$
   Следовательно,
   $$x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin^2 3x+3\cos 3x=3.$$
   Заменим $$\sin^2 3x$$:
   $$1-\cos^2 3x+3\cos 3x=3,$$
   $$\cos^2 3x-3\cos 3x+2=0.$$
   Тогда
   $$D=9-8=1,$$
   $$\cos 3x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad \cos 3x_2=\frac{3+1}{2}=2.$$
   Значение $$\cos 3x_2=2$$ невозможно, поэтому
   $$\cos 3x=1.$$
   Отсюда
   $$3x=2\pi n,\qquad x=\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos 2x-3\sin x=2.$$
   Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
   $$1-2\sin^2 x-3\sin x=2,$$
   $$2\sin^2 x+3\sin x+1=0.$$
   Решим квадратное уравнение:
   $$D=9-8=1.$$
   Тогда
   $$\sin x_1=-1,\qquad \sin x_2=-\frac12.$$
   Получаем:
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

4. $$2\tg\frac{x}{3}+2\ctg\frac{x}{3}=5.$$
   Обозначим $$t=\tg\frac{x}{3}$$, тогда $$\ctg\frac{x}{3}=\frac1t$$:
   $$2t+\frac{2}{t}=5,$$
   $$2t^2-5t+2=0.$$
   Решим уравнение:
   $$D=25-16=9,$$
   $$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
   Значит,
   $$\tg\frac{x}{3}=\frac12 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{3}=2.$$
   Тогда
   $$\frac{x}{3}=\arctg\frac12+\pi n,\qquad \frac{x}{3}=\arctg 2+\pi n,$$
   откуда
   $$x=3\arctg\frac12+3\pi n,\qquad x=3\arctg 2+3\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
2) $$x=\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z;$$
3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
4) $$x=3\arctg\frac12+3\pi n,\; x=3\arctg 2+3\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$