Упр.36.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что если случайные величины $$x$$ и $$y$$ связаны линейной зависимостью, т. е. $$y=kx+b$$, где $$k\ne0$$, то $$r_{xy}=1$$ при $$k>0$$ и $$r_{xy}=-1$$ при $$k<0$$.

Пусть случайные величины связаны линейной зависимостью $$y=kx+b,$$ где $$k\ne 0.$$

Найдём математическое ожидание, дисперсию и ковариацию:

$$M(y)=M(kx+b)=kM(x)+b,$$
$$D(y)=D(kx+b)=k^2D(x),$$
$$\operatorname{cov}(x,y)=M\bigl((x-M(x))(y-M(y))\bigr).$$

Подставим $$y=kx+b$$ и $$M(y)=kM(x)+b$$:

$$\operatorname{cov}(x,y)=M\bigl((x-M(x))(kx+b-kM(x)-b)\bigr)$$
$$= M\bigl((x-M(x))\cdot k(x-M(x))\bigr) = kM\bigl((x-M(x))^2\bigr) = kD(x).$$

Теперь вычислим коэффициент корреляции:

$$r_{xy}=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)}\cdot \sqrt{D(y)}} =\frac{kD(x)}{\sqrt{D(x)}\cdot \sqrt{k^2D(x)}} =\frac{k}{|k|}.$$

Если $$k>0,$$ то $$|k|=k,$$ значит

$$r_{xy}=\frac{k}{k}=1.$$

Если $$k<0,$$ то $$|k|=-k,$$ значит

$$r_{xy}=\frac{k}{-k}=-1.$$

Ответ

Если $$k>0,$$ то $$r_{xy}=1,$$ а если $$k<0,$$ то $$r_{xy}=-1.$$