Упр.358 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 358. Сколько корней уравнения tg(3x)=v3 принадлежат промежутку [0; ?]?

Решим уравнение:

$$\tg 3x=\sqrt{3}.$$

Так как $$\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt{3},$$ то

$$3x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$[0;\pi].$$

При $$n=0$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{9}.$$

При $$n=1$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{9}.$$

При $$n=2$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}=\frac{7\pi}{9}.$$

При $$n=3$$ имеем

$$x=\frac{\pi}{9}+\pi>\pi,$$

поэтому дальше корни уже не подходят.

Ответ

$$3;\ \frac{\pi}{9},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{7\pi}{9}.$$