Упр.353 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(2a)+2sin(3?/4-a)cos(3?/4+a)=-1;
2) sin(8a)sin(4a)+cos(7a)cos(5a)=cos(3a)cos(a).

1) Используем формулу произведения в сумму:

$$2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)+\sin(-2a).$$

Тогда

$$ \sin 2a+2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right) =\sin 2a+\sin\frac{3\pi}{2}+\sin(-2a). $$

Так как $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$$ и $$\sin(-2a)=-\sin 2a,$$ получаем

$$\sin 2a-1-\sin 2a=-1.$$

Тождество доказано.

2) Применим формулы произведения в сумму:

$$ \sin 8a\sin 4a=\frac{\cos 4a-\cos 12a}{2}, $$

$$ \cos 7a\cos 5a=\frac{\cos 12a+\cos 2a}{2}. $$

Сложим полученные выражения:

$$ \sin 8a\sin 4a+\cos 7a\cos 5a =\frac{\cos 4a-\cos 12a}{2}+\frac{\cos 12a+\cos 2a}{2} =\frac{\cos 4a+\cos 2a}{2}. $$

Теперь используем формулу суммы косинусов:

$$ \cos 4a+\cos 2a=2\cos 3a\cos a. $$

Тогда

$$ \frac{\cos 4a+\cos 2a}{2}=\frac{2\cos 3a\cos a}{2}=\cos 3a\cos a. $$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$\sin 2a+2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right)=-1.$$

2) $$\sin 8a\sin 4a+\cos 7a\cos 5a=\cos 3a\cos a.$$