Упр.352 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (sin(3a)/sin(5a)-cos(3a)/cos(5a))·(sin(7a)-sin(3a))/(cos(4a)-1);
2) (1-cos(2a-?)+cos(4a+2?)-sin(3?/2-6a))/(sin(?/2+2a)+1-2(sin(2?-2a))^2);
3) (cos(5?/12+a/2))^2-(sin(?/12+a/2))^2.

1. $$\left(\frac{\sin 3a}{\sin 5a}-\frac{\cos 3a}{\cos 5a}\right)\cdot \frac{\sin 7a-\sin 3a}{\cos 4a-1}$$

   Приведём к общему знаменателю в первой скобке и применим формулы преобразования суммы в произведение:

   $$ \frac{\sin 3a\cos 5a-\cos 3a\sin 5a}{\sin 5a\cos 5a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos 5a}{\cos 4a-1} $$

   $$ =\frac{\sin(3a-5a)}{\sin 5a\cos 5a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos 5a}{\cos 4a-1} =\frac{-\sin 2a}{\sin 5a\cos 5a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos 5a}{\cos 4a-1} $$

   Так как $$\cos 4a-1=-2\sin^2 2a,$$ получаем:

   $$ \frac{-\sin 2a\cdot 2\sin 2a\cos 5a}{\sin 5a\cos 5a\cdot(-2\sin^2 2a)} =\frac{1}{\sin 5a} $$

2. $$\frac{1-\cos(2a-\pi)+\cos(4a+2\pi)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-6a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)+1-2\sin^2(2\pi-2a)}$$

   Используем формулы приведения:

   $$ \cos(2a-\pi)=-\cos 2a,\quad \cos(4a+2\pi)=\cos 4a,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-6a\right)=-\cos 6a $$

   Тогда числитель:

   $$ 1+\cos 2a+\cos 4a+\cos 6a $$

   Знаменатель:

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)+1-2\sin^2(2\pi-2a) =\cos 2a+1-2\sin^2 2a $$

   Так как $$1-2\sin^2 2a=\cos 4a,$$ то

   $$ \cos 2a+1-2\sin^2 2a=\cos 2a+\cos 4a $$

   Получаем:

   $$ \frac{1+\cos 2a+\cos 4a+\cos 6a}{\cos 2a+\cos 4a} $$

   Сгруппируем:

   $$ 1+\cos 6a+\cos 2a+\cos 4a =(1+\cos 6a)+(\cos 2a+\cos 4a) $$

   $$ =2\cos^2 3a+2\cos 3a\cos a =2\cos 3a(\cos 3a+\cos a) $$

   А знаменатель:

   $$ \cos 2a+\cos 4a=2\cos 3a\cos a $$

   Тогда

   $$ \frac{2\cos 3a(\cos 3a+\cos a)}{2\cos 3a\cos a} =\frac{\cos 3a+\cos a}{\cos a} =2\cos 2a $$

3. $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)$$

   Используем формулы:

   $$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin^2 y=\frac{1-\cos 2y}{2} $$

   Тогда

   $$ \frac{1+\cos\left(\frac{5\pi}{6}+a\right)}{2} -\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)}{2} $$

   $$ =\frac{\cos\left(\frac{5\pi}{6}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)}{2} $$

   Применим формулу суммы косинусов:

   $$ \cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2} $$

   Получаем:

   $$ \frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\cos\frac{\pi}{3}}{2} =\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\cdot \frac12 =-\frac12\sin a $$

Ответ

1) $$\frac{1}{\sin 5a}$$;
2) $$2\cos 2a$$;
3) $$-\frac12\sin a$$.