Упр.352 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   
   1) $$\left(\frac{\sin 3a}{\sin 5a}-\frac{\cos 3a}{\cos 5a}\right)\cdot\frac{\sin 7a-\sin 3a}{\cos 4a-1};$$
   
   2) $$\frac{1-\cos(2a-\pi)+\cos(4a+2\pi)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-6a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)+1-2\left(\sin(2\pi-2a)\right)^2};$$
   
   3) $$\left(\cos\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)\right)^2-\left(\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)\right)^2.$$

1. $$\left(\frac{\sin 3a}{\sin 5a}-\frac{\cos 3a}{\cos 5a}\right)\cdot \frac{\sin 7a-\sin 3a}{\cos 4a-1}$$

   Приведём к общему знаменателю в первой скобке и применим формулы преобразования суммы в произведение:

   $$\frac{\sin 3a\cos 5a-\cos 3a\sin 5a}{\sin 5a\cos 5a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos 5a}{\cos 4a-1}$$

   $$=\frac{\sin(3a-5a)}{\sin 5a\cos 5a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos 5a}{\cos 4a-1} =\frac{-\sin 2a}{\sin 5a\cos 5a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos 5a}{\cos 4a-1}$$

   Так как $$\cos 4a-1=-2\sin^2 2a,$$ получаем:

   $$\frac{-\sin 2a\cdot 2\sin 2a\cos 5a}{\sin 5a\cos 5a\cdot(-2\sin^2 2a)} =\frac{1}{\sin 5a}$$

2. $$\frac{1-\cos(2a-\pi)+\cos(4a+2\pi)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-6a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)+1-2\sin^2(2\pi-2a)}$$

   Используем формулы приведения:

   $$\cos(2a-\pi)=-\cos 2a,\quad \cos(4a+2\pi)=\cos 4a,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-6a\right)=-\cos 6a$$

   Тогда числитель:

   $$1+\cos 2a+\cos 4a+\cos 6a$$

   Знаменатель:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)+1-2\sin^2(2\pi-2a) =\cos 2a+1-2\sin^2 2a$$

   Так как $$1-2\sin^2 2a=\cos 4a,$$ то

   $$\cos 2a+1-2\sin^2 2a=\cos 2a+\cos 4a$$

   Получаем:

   $$\frac{1+\cos 2a+\cos 4a+\cos 6a}{\cos 2a+\cos 4a}$$

   Сгруппируем:

   $$1+\cos 6a+\cos 2a+\cos 4a =(1+\cos 6a)+(\cos 2a+\cos 4a)$$

   $$=2\cos^2 3a+2\cos 3a\cos a =2\cos 3a(\cos 3a+\cos a)$$

   А знаменатель:

   $$\cos 2a+\cos 4a=2\cos 3a\cos a$$

   Тогда

   $$\frac{2\cos 3a(\cos 3a+\cos a)}{2\cos 3a\cos a} =\frac{\cos 3a+\cos a}{\cos a} =2\cos 2a$$

3. $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)$$

   Используем формулы:

   $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin^2 y=\frac{1-\cos 2y}{2}$$

   Тогда

   $$\frac{1+\cos\left(\frac{5\pi}{6}+a\right)}{2} -\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)}{2}$$

   $$=\frac{\cos\left(\frac{5\pi}{6}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)}{2}$$

   Применим формулу суммы косинусов:

   $$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$$

   Получаем:

   $$\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\cos\frac{\pi}{3}}{2} =\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\cdot \frac12 =-\frac12\sin a$$

Ответ

1) $$\frac{1}{\sin 5a}$$;
2) $$2\cos 2a$$;
3) $$-\frac12\sin a$$.