Упр.351 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) sin(3a)-sin(a)+sin(7a)-sin(5a)=4sin(a)cos(2a)cos(4a);
2) (sin(6a)+sin(2a)-cos(2a))/(cos(2a)-cos(6a)-sin(2a))=ctg(2a).

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть, используя формулу суммы и разности синусов:

$$ \sin 3a-\sin a=2\cos 2a\sin a, $$
$$ \sin 7a-\sin 5a=2\cos 6a\sin a. $$
Тогда
$$ \sin 3a-\sin a+\sin 7a-\sin 5a =2\sin a(\cos 2a+\cos 6a). $$
По формуле суммы косинусов:
$$ \cos 2a+\cos 6a=2\cos 4a\cos 2a. $$
Следовательно,
$$ 2\sin a(\cos 2a+\cos 6a)=2\sin a\cdot 2\cos 4a\cos 2a=4\sin a\cos 2a\cos 4a. $$
Тождество доказано.

2) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$ \sin 6a+\sin 2a=2\sin 4a\cos 2a, $$
$$ \cos 2a-\cos 6a=2\sin 4a\sin 2a. $$
Тогда
$$ \frac{\sin 6a+\sin 2a-\cos 2a}{\cos 2a-\cos 6a-\sin 2a} = \frac{2\sin 4a\cos 2a-\cos 2a}{2\sin 4a\sin 2a-\sin 2a}. $$
Вынесем общий множитель:
$$ \frac{\cos 2a(2\sin 4a-1)}{\sin 2a(2\sin 4a-1)}. $$
Сокращаем на $$(2\sin 4a-1)$$:
$$ \frac{\cos 2a}{\sin 2a}=\ctg 2a. $$
Тождество доказано.