Упр.35.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Игральный кубик подбрасывают $$n$$ раз. Пусть $$x$$ — количество выпавших при этом пятёрок, а $$y$$ — шестёрок. Найдите ковариацию случайных величин $$x$$ и $$y$$.

Рассмотрим один бросок кубика. Обозначим через $$X$$ число выпавших пятёрок, а через $$Y$$ — число выпавших шестёрок.

Тогда

$$M(X)=\frac16,\qquad M(Y)=\frac16.$$

Произведение $$XY$$ равно $$1$$ только в том случае, если одновременно выпали и пятёрка, и шестёрка, что при одном броске невозможно. Значит,

$$M(XY)=0.$$

Следовательно, ковариация для одного броска равна

$$\operatorname{cov}(X,Y)=M(XY)-M(X)\cdot M(Y)=0-\frac16\cdot\frac16=-\frac1{36}.$$

При $$n$$ независимых бросках ковариация суммы равна сумме ковариаций, поэтому

$$\operatorname{cov}(x,y)=n\cdot\operatorname{cov}(X,Y)=n\cdot\left(-\frac1{36}\right)=-\frac{n}{36}.$$

Ответ

$$-\frac{n}{36}$$