Упр.35.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что: 1) $$\operatorname{cov}(x,y)=M(xy)-M(x)M(y)$$; 2) $$D(x+y)=D(x)+D(y)+\operatorname{cov}(x,y)$$.

1) По определению ковариации

$$cov(x,y)=M\big((x-M(x))(y-M(y))\big).$$

Раскроем скобки:

$$\begin{aligned} cov(x,y) &= M\big(xy-xM(y)-yM(x)+M(x)M(y)\big) \\ &= M(xy)-M(x)M(y)-M(y)M(x)+M(x)M(y) \\ &= M(xy)-M(x)M(y). \end{aligned}$$

2) По определению дисперсии

$$D(x+y)=M\big((x+y)-M(x+y)\big)^2.$$

Так как $$M(x+y)=M(x)+M(y),$$ то

$$\begin{aligned} D(x+y) &= M\big((x-M(x))+(y-M(y))\big)^2 \\ &= M\big((x-M(x))^2+2(x-M(x))(y-M(y))+(y-M(y))^2\big) \\ &= M\big((x-M(x))^2\big)+2M\big((x-M(x))(y-M(y))\big)+M\big((y-M(y))^2\big) \\ &= D(x)+2cov(x,y)+D(y). \end{aligned}$$

Следовательно,

$$D(x+y)=D(x)+D(y)+2cov(x,y).$$

Ответ

$$cov(x,y)=M(xy)-M(x)M(y),$$

$$D(x+y)=D(x)+D(y)+2cov(x,y).$$