Упр.35.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 35.1. Докажите свойства ковариации 1-5, приведённые в конце этого параграфа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 merzlyak11 35-1 118

Подробный ответ

Пользуемся определением ковариации:

$$\operatorname{cov}(x,y)=M\bigl((x-M(x))(y-M(y))\bigr).$$

Раскроем скобки:

$$ \operatorname{cov}(x,y)=M(xy-xM(y)-yM(x)+M(x)M(y)). $$

По линейности математического ожидания получаем:

$$ \operatorname{cov}(x,y)=M(xy)-M(x)M(y)-M(y)M(x)+M(x)M(y)=M(xy)-M(x)M(y). $$

$$\operatorname{cov}(x,x)=M(x^2)-(M(x))^2=D(x)\ge 0.$$
$$\operatorname{cov}(x,y)=M(xy)-M(x)M(y)=M(yx)-M(y)M(x)=\operatorname{cov}(y,x).$$
$$ \operatorname{cov}(\lambda x,y)=M(\lambda xy)-M(\lambda x)M(y) =\lambda M(xy)-\lambda M(x)M(y) =\lambda \operatorname{cov}(x,y). $$
$$ \operatorname{cov}(x+y,z)=M((x+y)z)-M(x+y)M(z) $$
$$ =M(xz)+M(yz)-\bigl(M(x)+M(y)\bigr)M(z) $$
$$ =\operatorname{cov}(x,z)+\operatorname{cov}(y,z). $$
Пусть $$z=ax+y$$. Тогда
$$ D(z)=D(ax+y)=M\bigl((ax+y-M(ax+y))^2\bigr). $$
$$ =M\bigl(a(x-M(x))+(y-M(y))\bigr)^2 $$
$$ =a^2D(x)+2a\,\operatorname{cov}(x,y)+D(y)\ge 0. $$
Следовательно, дискриминант этого квадратного трёхчлена по $$a$$ не положителен:
$$ \bigl(2\operatorname{cov}(x,y)\bigr)^2-4D(x)D(y)\le 0. $$
Отсюда
$$ \operatorname{cov}^2(x,y)\le D(x)D(y). $$