Упр.349 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) tg(2a(1+cos(4a)))-sin(4a)=0;
2) (1+cos(a)+sin(a))/(1-cos(a)+sin(a))=ctg(a/2).

1. Преобразуем левую часть:

   $$\tg 2a(1+\cos 4a)-\sin 4a$$

   Так как $$1+\cos 4a=2\cos^2 2a$$, а $$\tg 2a=\dfrac{\sin 2a}{\cos 2a}$$, получаем

   $$\tg 2a(1+\cos 4a)-\sin 4a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}\cdot 2\cos^2 2a-\sin 4a.$$

   Сократим и используем формулу $$\sin 4a=2\sin 2a\cos 2a$$:

   $$2\sin 2a\cos 2a-\sin 4a=2\sin 2a\cos 2a-2\sin 2a\cos 2a=0.$$

   Тождество доказано.

2. Преобразуем числитель и знаменатель через формулы половинного угла:

   $$1+\cos a+\sin a=2\cos^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2,$$

   $$1-\cos a+\sin a=2\sin^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2.$$

   Тогда

   $$\frac{1+\cos a+\sin a}{1-\cos a+\sin a} =\frac{2\cos^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2}{2\sin^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2}.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\frac{2\cos\frac a2\left(\cos\frac a2+\sin\frac a2\right)}{2\sin\frac a2\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right)} =\frac{\cos\frac a2}{\sin\frac a2} =\ctg\frac a2.$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\tg 2a(1+\cos 4a)-\sin 4a=0$$; 2) $$\dfrac{1+\cos a+\sin a}{1-\cos a+\sin a}=\ctg\dfrac a2$$.