Упр.347 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$\sin\frac{a}{4}\cos\frac{a}{4}\cos\frac{a}{2}$$;
   2) $$\frac{\sin 6a}{\sin 2a}+\frac{\cos 6a}{\cos 2a}$$;
   3) $$\frac{\operatorname{ctg}a+\operatorname{tg}a}{\operatorname{ctg}a-\operatorname{tg}a}$$;
   4) $$\frac{1-2\sin^2(2a)}{2\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}-2a\right)\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}+2a\right)}$$.

1. $$\sin \frac a4 \cos \frac a4 \cos \frac a2$$
   $$=\frac12 \sin \frac a2 \cos \frac a2$$
   $$=\frac14 \sin a.$$

2. $$\frac{\sin 6a}{\sin 2a}+\frac{\cos 6a}{\cos 2a} =\frac{\sin 6a \cos 2a+\cos 6a \sin 2a}{\sin 2a \cos 2a}$$
   $$=\frac{\sin 8a}{\sin 2a \cos 2a} =\frac{2\sin 4a \cos 4a}{\frac12 \sin 4a} =4\cos 4a.$$

3. $$\frac{\ctg a+\tg a}{\ctg a-\tg a} =\frac{1+\tg^2 a}{1-\tg^2 a} =\frac{1}{\cos^2 a}:\left(2-\frac{1}{\cos^2 a}\right)$$
   $$=\frac{1}{\cos^2 a}\cdot \frac{\cos^2 a}{2\cos^2 a-1} =\frac{1}{2\cos^2 a-1} =\frac{1}{\cos 2a}.$$

4. $$\frac{1-2\sin^2 2a}{2\tg\left(\frac{3\pi}{4}-2a\right)\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}+2a\right)}$$
   $$=\frac{\cos 4a}{2\tg\left(\frac{3\pi}{4}-2a\right)\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}+2a\right)}$$
   $$=\frac{\cos 4a}{2\tg\left(\frac{3\pi}{4}-2a\right)\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{3\pi}{4}-2a\right)\right)}$$
   $$=\frac{\cos 4a}{2\tg\left(\frac{3\pi}{4}-2a\right)\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}-2a\right)}$$
   $$=\frac{\cos 4a}{2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-2a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}-2a\right)}$$
   $$=\frac{\cos 4a}{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-4a\right)} =\frac{\cos 4a}{-\cos 4a} =-1.$$

Ответ

$$\frac14\sin a;\quad 4\cos 4a;\quad \frac{1}{\cos 2a};\quad -1.$$