Упр.346 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) cos(?/2+a)-sin(?+a)+tg(2?-a)+ctg(3?/2-a);
2) sin(a+?/2)cos(?-a)+cos(a+3?/2)sin(2?-a);
3) (sin(180°-a)cos(180°+a)tg(180°-a))/(sin(270°-a)ctg(270°+a)cos(90°+a));
4) (tg(5?/2+a)sin(2?-a)+sin(3?-a))^2-2(cos(?-a))^2/ctg(a-?).

Подробный ответ

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)-\sin(\pi+a)+\tg(2\pi-a)+\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)$$
Используем формулы приведения:
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\sin a,\quad \sin(\pi+a)=-\sin a,$$
$$\tg(2\pi-a)=-\tg a,\quad \ctg\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=-\tg a.$$
Тогда
$$ -\sin a-(-\sin a)-\tg a-\tg a=-\sin a+\sin a=0. $$
$$\sin\left(a+\frac{\pi}{2}\right)\cos(\pi-a)+\cos\left(a+\frac{3\pi}{2}\right)\sin(2\pi-a)$$
Преобразуем:
$$\sin\left(a+\frac{\pi}{2}\right)=\cos a,\quad \cos(\pi-a)=-\cos a,$$
$$\cos\left(a+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin a,\quad \sin(2\pi-a)=-\sin a.$$
Тогда
$$ \cos a\cdot(-\cos a)+\sin a\cdot(-\sin a) =-\cos^2 a-\sin^2 a=-1. $$
$$\frac{\sin(180^\circ-a)\cos(180^\circ+a)\tg(180^\circ-a)}{\sin(270^\circ-a)\ctg(270^\circ+a)\cos(90^\circ+a)}$$
Используем формулы приведения:
$$\sin(180^\circ-a)=\sin a,\quad \cos(180^\circ+a)=-\cos a,\quad \tg(180^\circ-a)=-\tg a,$$
$$\sin(270^\circ-a)=-\cos a,\quad \ctg(270^\circ+a)=-\tg a,\quad \cos(90^\circ+a)=-\sin a.$$
Тогда
$$ \frac{\sin a\cdot(-\cos a)\cdot(-\tg a)}{(-\cos a)\cdot(-\tg a)\cdot(-\sin a)} =\frac{\sin a}{-\sin a}=-1. $$
$$\left(\tg\left(\frac{5\pi}{2}+a\right)\sin(2\pi-a)+\sin(3\pi-a)\right)^2-\frac{2\cos^2(\pi-a)}{\ctg(a-\pi)}$$
Преобразуем выражения:
$$\tg\left(\frac{5\pi}{2}+a\right)=\tg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\ctg a,$$
$$\sin(2\pi-a)=-\sin a,\quad \sin(3\pi-a)=\sin a,$$
$$\cos(\pi-a)=-\cos a,\quad \ctg(a-\pi)=\ctg a.$$
Тогда
$$ \left((-\ctg a)(-\sin a)+\sin a\right)^2-\frac{2\cos^2 a}{\ctg a}. $$
Так как $$\ctg a=\frac{\cos a}{\sin a},$$ то
$$ (-\ctg a)(-\sin a)=\cos a, $$
и получаем
$$ (\cos a+\sin a)^2-2\cos a\sin a. $$
Раскрываем квадрат:
$$ \cos^2 a+2\cos a\sin a+\sin^2 a-2\cos a\sin a =\cos^2 a+\sin^2 a=1. $$