Упр.345 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) v3sin(a)-cos(a); 2) 4sin(a)-3cos(a).

1) Преобразуем выражение:

$$\sqrt{3}\sin a-\cos a=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a-\frac12\cos a\right).$$

Так как $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{6}$$ и $$\frac12=\sin \frac{\pi}{6},$$ то

$$\sqrt{3}\sin a-\cos a=2\left(\cos \frac{\pi}{6}\sin a-\sin \frac{\pi}{6}\cos a\right)=2\sin\left(a-\frac{\pi}{6}\right).$$

Наибольшее значение синуса равно $$1,$$ значит

$$\max\left(\sqrt{3}\sin a-\cos a\right)=2.$$

2) Аналогично:

$$4\sin a-3\cos a=5\left(\frac45\sin a-\frac35\cos a\right).$$

Пусть $$\cos t=\frac45,$$ $$\sin t=\frac35.$$ Тогда

$$4\sin a-3\cos a=5(\cos t\sin a-\sin t\cos a)=5\sin(a-t).$$

Следовательно, наибольшее значение этого выражения равно $$5.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$5$$.