Упр.344 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (sin(45°+?)+cos(45°+?))/(sin(45°+?)-cos(45°+?))=ctg(?);
2) (cos(?-?)-2sin(?)sin(?))/(sin(?-?)+2sin(?)cos(?))=ctg(?+?);
3) sin(12?)ctg(6?)-cos(12?)=1;
4) 1-(tg(?)+tg(?))ctg(?+?)=tg(?)tg(?).

Подробный ответ

$$\frac{\sin(45^\circ+a)+\cos(45^\circ+a)}{\sin(45^\circ+a)-\cos(45^\circ+a)}$$
$$=\frac{\sin(45^\circ+a)+\sin(45^\circ-a)}{\sin(45^\circ+a)-\sin(45^\circ-a)}$$
Используем формулы:
$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2},$$
$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$
Тогда
$$\frac{2\sin45^\circ\cos a}{2\cos45^\circ\sin a}=\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a.$$
$$\frac{\cos(a-\beta)-2\sin a\sin\beta}{\sin(a-\beta)+2\sin\beta\cos a}$$
$$=\frac{\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta-2\sin a\sin\beta}{\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta+2\sin\beta\cos a}$$
$$=\frac{\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta}{\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta}.$$
По формулам сложения:
$$\cos(a+\beta)=\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta,$$
$$\sin(a+\beta)=\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta.$$
Значит,
$$\frac{\cos(a-\beta)-2\sin a\sin\beta}{\sin(a-\beta)+2\sin\beta\cos a} =\frac{\cos(a+\beta)}{\sin(a+\beta)}=\ctg(a+\beta).$$
$$\sin 12a\cdot \ctg 6a-\cos 12a$$
$$=2\sin 6a\cos 6a\cdot \frac{\cos 6a}{\sin 6a}-\cos 12a$$
$$=2\cos^2 6a-\cos 12a.$$
Так как
$$\cos 12a=\cos^2 6a-\sin^2 6a,$$
то
$$2\cos^2 6a-(\cos^2 6a-\sin^2 6a)=\cos^2 6a+\sin^2 6a=1.$$
$$1-(\tg a+\tg\beta)\ctg(a+\beta)$$
$$=1-\left(\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right)\ctg(a+\beta)$$
$$=1-\frac{\sin a\cos\beta+\sin\beta\cos a}{\cos a\cos\beta}\cdot \frac{\cos(a+\beta)}{\sin(a+\beta)}.$$
Поскольку
$$\sin(a+\beta)=\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta,$$
$$\cos(a+\beta)=\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta,$$
получаем
$$1-\frac{\sin(a+\beta)}{\cos a\cos\beta}\cdot \frac{\cos(a+\beta)}{\sin(a+\beta)} =1-\frac{\cos(a+\beta)}{\cos a\cos\beta}.$$
Тогда
$$1-\frac{\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta}{\cos a\cos\beta} =\frac{\sin a\sin\beta}{\cos a\cos\beta} =\tg a\cdot \tg\beta.$$