Упр.343 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) v(1-(cos(a/2))^2)-v(1-(sin(a/2))^2), если ? < a < 2?; 2) v((1+sin(a))/(1-sin(a)))+v((1-sin(a))/(1+sin(a))), если 180° < a < 270°.

1) $$\sqrt{1-\cos^2\frac a2}-\sqrt{1-\sin^2\frac a2}$$

Используем тождества $$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$ и $$1-\sin^2 x=\cos^2 x$$:

$$ \sqrt{\sin^2\frac a2}-\sqrt{\cos^2\frac a2} = \left|\sin\frac a2\right|-\left|\cos\frac a2\right|. $$

Так как $$\pi<a<2\pi,$$ то $$\frac\pi2<\frac a2<\pi,$$ значит $$\sin\frac a2>0$$ и $$\cos\frac a2<0.$$ Поэтому

$$ \left|\sin\frac a2\right|-\left|\cos\frac a2\right| = \sin\frac a2+\cos\frac a2. $$

2) $$\sqrt{\frac{1+\sin a}{1-\sin a}}+\sqrt{\frac{1-\sin a}{1+\sin a}}$$

Преобразуем каждую дробь, домножив числитель и знаменатель под корнем на соответствующее выражение:

$$ \sqrt{\frac{1+\sin a}{1-\sin a}} = \sqrt{\frac{(1+\sin a)^2}{1-\sin^2 a}} = \sqrt{\frac{(1+\sin a)^2}{\cos^2 a}} = \frac{|1+\sin a|}{|\cos a|}, $$

$$ \sqrt{\frac{1-\sin a}{1+\sin a}} = \sqrt{\frac{(1-\sin a)^2}{1-\sin^2 a}} = \sqrt{\frac{(1-\sin a)^2}{\cos^2 a}} = \frac{|1-\sin a|}{|\cos a|}. $$

При $$180^\circ<a<270^\circ$$ имеем $$\sin a<0,$$ значит $$1+\sin a>0$$ и $$1-\sin a>0,$$ а также $$\cos a<0,$$ поэтому $$|\cos a|=-\cos a.$$ Тогда

$$ \frac{|1+\sin a|}{|\cos a|}+\frac{|1-\sin a|}{|\cos a|} = \frac{1+\sin a}{-\cos a}+\frac{1-\sin a}{-\cos a} = \frac{2}{-\cos a} = -\frac{2}{\cos a}. $$

Ответ

1) $$\sin\frac a2+\cos\frac a2$$; 2) $$-\frac{2}{\cos a}$$.