Упр.342 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 3(cos(a))^2+2(sin(a))^2; 3) 3(sin(a))^2-2tg(a)ctg(a).

Подробный ответ

1) Пусть $$y=3\cos^2 a+2\sin^2 a.$$

Используем тождество $$\sin^2 a=1-\cos^2 a$$:

$$ y=3\cos^2 a+2(1-\cos^2 a) $$
$$ y=3\cos^2 a+2-2\cos^2 a $$
$$ y=\cos^2 a+2 $$

Так как $$0\le \cos^2 a\le 1,$$ то

$$ 2\le y\le 3. $$

Значит, наименьшее значение равно $$2,$$ а наибольшее — $$3.$$

3) Пусть $$y=3\sin^2 a-2\tg a\ctg a.$$

Так как $$\tg a\ctg a=1$$ при тех значениях $$a,$$ где выражение определено, получаем:

$$ y=3\sin^2 a-2. $$

Поскольку $$0\le \sin^2 a\le 1,$$ то

$$ -2\le y\le 1. $$

Но при $$\tg a\ctg a$$ выражение определено не при всех $$a,$$ поэтому значения $$-2$$ и $$1$$ не достигаются одновременно с учетом области определения исходного выражения. Следовательно, наибольшего и наименьшего значений у выражения нет.