Упр.342 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) $$3\cos^2(a)+2\sin^2(a)$$; 3) $$3\sin^2(a)-2\tg(a)\ctg(a)$$.

1) Пусть $$y=3\cos^2 a+2\sin^2 a.$$

Используем тождество $$\sin^2 a=1-\cos^2 a$$:

$$y=3\cos^2 a+2(1-\cos^2 a)$$
$$y=3\cos^2 a+2-2\cos^2 a$$
$$y=\cos^2 a+2$$

Так как $$0\le \cos^2 a\le 1,$$ то

$$2\le y\le 3.$$

Значит, наименьшее значение равно $$2,$$ а наибольшее — $$3.$$

3) Пусть $$y=3\sin^2 a-2\tg a\ctg a.$$

Так как $$\tg a\ctg a=1$$ при тех значениях $$a,$$ где выражение определено, получаем:

$$y=3\sin^2 a-2.$$

Поскольку $$0\le \sin^2 a\le 1,$$ то

$$-2\le y\le 1.$$

Но при $$\tg a\ctg a$$ выражение определено не при всех $$a,$$ поэтому значения $$-2$$ и $$1$$ не достигаются одновременно с учетом области определения исходного выражения. Следовательно, наибольшего и наименьшего значений у выражения нет.

Ответ

1) $$2; 3.$$
3) не существуют.