Упр.34.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 34.9. (Закон больших чисел.) Пусть x_1, x_2, …, x_n — независимые одинаково распределённые случайные величины, имеющие математическое ожидание м и дисперсию D, случайная величина у — среднее арифметическое случайных величин x_1, x_2, …, x_n, т. е. y=(x_1+x_2+…+x_n)/n. Тогда для любого положительного числа о вероятность того, что выполняется двойное неравенство м-о < y < м+о, неограниченно приближается к 1 с ростом числа n. Докажите это утверждение.

Пусть $$x_1, x_2, \ldots, x_n$$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, для которых

$$M(x_i)=\mu,\qquad D(x_i)=D.$$

Рассмотрим среднее арифметическое

$$y=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.$$

Найдём его математическое ожидание:

$$ M(y)=M\!\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right) =\frac{M(x_1)+M(x_2)+\cdots+M(x_n)}{n} =\frac{n\mu}{n}=\mu. $$

Найдём дисперсию:

$$ D(y)=D\!\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right) =\frac{D(x_1)+D(x_2)+\cdots+D(x_n)}{n^2} =\frac{nD}{n^2}=\frac{D}{n}. $$

По неравенству Чебышёва для любого $$\delta>0$$ имеем:

$$ P\bigl(|y-M(y)|\ge \delta\bigr)\le \frac{D(y)}{\delta^2}. $$

Следовательно,

$$ P\bigl(|y-\mu|<\delta\bigr)\ge 1-\frac{D(y)}{\delta^2} =1-\frac{D}{n\delta^2}. $$

То есть

$$ P(\mu-\delta<y<\mu+\delta)\ge 1-\frac{D}{n\delta^2}. $$

При $$n\to\infty$$ правая часть стремится к $$1$$, так как

$$\frac{D}{n\delta^2}\to 0.$$

Значит, вероятность того, что выполняется неравенство $$\mu-\delta<y<\mu+\delta,$$ неограниченно приближается к $$1$$ с ростом $$n$$.

Ответ

$$P(\mu-\delta<y<\mu+\delta)\to 1 \quad \text{при } n\to\infty.$$