Упр.34.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Неравенство Маркова. Пусть случайная величина $$x$$ имеет математическое ожидание $$m$$ и принимает только неотрицательные значения. Докажите, что для любого положительного числа $$o$$ выполняется неравенство $$P(x>o)<\frac{m}{o}$$.

Пусть случайная величина $$x$$ принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание $$M(x)=\mu$$.

Обозначим через $$A$$ событие $$x>\delta$$, где $$\delta>0$$. Тогда на событии $$A$$ выполняется неравенство $$x\ge \delta$$, а вне этого события $$x\ge 0$$.

Следовательно, для математического ожидания можно записать:

$$\mu=M(x)\ge \delta \cdot P(x>\delta).$$

Делим обе части неравенства на положительное число $$\delta$$:

$$P(x>\delta)\le \frac{\mu}{\delta}.$$

Так как $$\delta>0$$ — произвольное число, получаем требуемое неравенство Маркова:

$$P(x>\delta)\le \frac{\mu}{\delta}.$$

Ответ

$$P(x>\delta)\le \frac{\mu}{\delta}.$$