Упр.34.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что если монету подбросить 2500 раз, то с вероятностью, не меньшей 99 %, частота выпадения герба отличается от $$\frac{1}{2}$$ не больше, чем на 0,1.

Пусть $$x$$ — число выпадений герба при $$n=2500$$ подбрасываниях монеты. Тогда частота выпадения герба равна $$\frac{x}{2500}$$.

Для схемы Бернулли имеем:

$$p=\frac12,\quad q=\frac12.$$

Математическое ожидание и дисперсия частоты:

$$M\left(\frac{x}{2500}\right)=p=\frac12,$$

$$D\left(\frac{x}{2500}\right)=\frac{pq}{n}=\frac{0{,}5\cdot 0{,}5}{2500}=0{,}0001.$$

По неравенству Чебышёва:

$$P\left(\left|\frac{x}{2500}-\frac12\right|\le \delta\right)\ge 1-\frac{D}{\delta^2}.$$

Возьмём $$\delta=0{,}1$$. Тогда

$$P\left(\left|\frac{x}{2500}-\frac12\right|\le 0{,}1\right)\ge 1-\frac{0{,}0001}{0{,}1^2}=1-\frac{0{,}0001}{0{,}01}=1-0{,}01=0{,}99.$$

Следовательно, с вероятностью не меньшей $$99\%$$ частота выпадения герба отличается от $$\frac12$$ не более чем на $$0{,}1$$.

Ответ

$$P\left(\left|\frac{x}{2500}-\frac12\right|\le 0{,}1\right)\ge 0{,}99.$$