Упр.34.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Пусть случайная величина $$x$$ имеет математическое ожидание $$m$$ и стандартное отклонение $$\sigma$$. Докажите, что с вероятностью, не меньшей 88 %, случайная величина $$x$$ принимает значения, удовлетворяющие двойному неравенству $$m-3\sigma < x < m+3\sigma$$.

Подробный ответ

Пусть математическое ожидание случайной величины $$x$$ равно $$m$$, а стандартное отклонение равно $$\sigma$$. Тогда дисперсия:

$$D(x)=\sigma^2.$$

Применим неравенство Чебышёва:

$$P\left(|x-m|<\delta\right)\ge 1-\frac{D(x)}{\delta^2}.$$

Возьмём $$\delta=3\sigma$$. Тогда

$$P\left(|x-m|<3\sigma\right)\ge 1-\frac{\sigma^2}{(3\sigma)^2}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.$$

Так как $$\frac{8}{9}\approx 0{,}888\ldots > 0{,}88,$$ то

$$P\left(m-3\sigma<x<m+3\sigma\right)\ge \frac{8}{9}>0{,}88.$$

Следовательно, с вероятностью не меньшей $$88\%$$ случайная величина $$x$$ принимает значения, удовлетворяющие неравенству

$$m-3\sigma<x<m+3\sigma.$$