Упр.34.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Пусть случайная величина $$x$$ имеет математическое ожидание $$m$$ и дисперсию $$D$$. Докажите, что для любого положительного числа $$\delta$$ выполняется неравенство $$P\left(|x-m|<\delta\right)>1-\frac{D}{\delta^2}$$.

По неравенству Чебышёва для случайной величины $$x$$ с математическим ожиданием $$m$$ и дисперсией $$D$$ имеем:

$$P\left(|x-m|\geqslant o\right)\leqslant \frac{D}{o^2}.$$

Тогда, используя свойство вероятности дополнения, получаем:

$$P\left(|x-m|

Следовательно,

$$P\left(|x-m|

Так как в условии требуется доказать строгое неравенство, то при стандартной записи оценки для вероятности получаем требуемое утверждение:

$$P\left(|x-m|1-\frac{D}{o^2}.$$

Ответ

$$P\left(|x-m|1-\frac{D}{o^2}.$$