Упр.339 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=(vcos(2x))^2; 3) y=v(sin(x))^2-sin(x);
2) y=tg(x)-tg|x|; 4) y=ctg|x|/ctg(x).

1. $$y=\left(\sqrt{\cos 2x}\right)^2$$

   Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то $$\cos 2x\ge 0.$$ Тогда

   $$y=\cos 2x,\quad \cos 2x\ge 0.$$

   Значит, график совпадает с графиком функции $$y=\cos 2x$$ на тех промежутках, где $$\cos 2x\ge 0,$$ и состоит из его «верхних» дуг.

2. $$y=\tg x-\tg|x|$$

   Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ поэтому

   $$y=\tg x-\tg x=0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

   $$y=\tg x-\tg(-x)=\tg x+\tg x=2\tg x.$$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} 2\tg x, & x<0,\\ 0, & x\ge 0, \end{cases} $$

   при этом $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3. $$y=\sqrt{\sin^2 x}-\sin x$$

   Так как $$\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|,$$ получаем

   $$y=|\sin x|-\sin x.$$

   Если $$\sin x\ge 0,$$ то

   $$y=\sin x-\sin x=0.$$

   Если $$\sin x<0,$$ то

   $$y=-\sin x-\sin x=-2\sin x.$$

   Значит,

   $$ y= \begin{cases} 0, & \sin x\ge 0,\\ -2\sin x, & \sin x<0. \end{cases} $$

4. $$y=\dfrac{\ctg|x|}{\ctg x}$$

   Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и

   $$y=\dfrac{\ctg x}{\ctg x}=1.$$

   Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ поэтому

   $$y=\dfrac{\ctg(-x)}{\ctg x}=\dfrac{-\ctg x}{\ctg x}=-1.$$

   Область определения:

   $$x\ne \pi n,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0, \end{cases} $$

   при указанных ограничениях на $$x.$$

Ответ

1) $$y=\cos 2x$$ при $$\cos 2x\ge 0$$;
2) $$y=0$$ при $$x\ge 0,$$ $$y=2\tg x$$ при $$x<0$$;
3) $$y=0$$ при $$\sin x\ge 0,$$ $$y=-2\sin x$$ при $$\sin x<0$$;
4) $$y=1$$ при $$x>0,$$ $$y=-1$$ при $$x<0.$$