Упр.337 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Является ли чётной либо нечётной функция, заданная формулой:

1. $$f(x)=2x+\sin x$$;
2. $$f(x)=\frac{\operatorname{ctg}x}{x^2-1}$$;
3. $$f(x)=\frac{x^4\cos x}{\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x}$$;
4. $$f(x)=\frac{\cos x}{x^3-1}$$;
5. $$f(x)=\operatorname{tg}x+x^2$$;
6. $$f(x)=\frac{(2-x)\cos x}{2-x}$$?

1. $$f(x)=2x+\sin x$$

   Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

   Проверим чётность:

   $$f(-x)=2(-x)+\sin(-x)=-2x-\sin x=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

2. $$f(x)=\frac{\operatorname{ctg} x}{x^2-1}$$

   Область определения: $$x\neq \pm 1,\quad x\neq \pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$

   Проверим чётность:

   $$f(-x)=\frac{\operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{-\operatorname{ctg} x}{x^2-1}=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

3. $$f(x)=\frac{x^4\cos x}{\tg x+\operatorname{ctg} x}$$

   Область определения: $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\neq \pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$

   Проверим чётность:

   $$f(-x)=\frac{(-x)^4\cos(-x)}{\tg(-x)+\operatorname{ctg}(-x)} =\frac{x^4\cos x}{-\tg x-\operatorname{ctg} x} =-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

4. $$f(x)=\frac{\cos x}{x^3-1}$$

   Область определения: $$x\neq 1.$$

   Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

5. $$f(x)=\tg x+x^2$$

   Область определения: $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$

   Проверим чётность:

   $$f(-x)=\tg(-x)+(-x)^2=-\tg x+x^2.$$

   Это не равно ни $$f(x),$$ ни $$-f(x).$$ Значит, функция общего вида.

6. $$f(x)=\frac{(2-x)\cos x}{2-x}$$

   Область определения: $$x\neq 2.$$

   Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ

1) нечётная; 2) нечётная; 3) нечётная; 4) ни чётная, ни нечётная; 5) ни чётная, ни нечётная; 6) ни чётная, ни нечётная.