Упр.337 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2x+sin(x); 4) f(x)=cos(x)/(x^3-1);
2) f(x)=ctg(x)/(x^2-1); 5) f(x)=tg(x)+x^2);
3) f(x)=x^4 cos(x)/(tg(x)+ctg(x));
6) f(x)=(2-x)cos(x)/(2-x)?

Подробный ответ

$$f(x)=2x+\sin x$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=2(-x)+\sin(-x)=-2x-\sin x=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{\operatorname{ctg} x}{x^2-1}$$
Область определения: $$x\neq \pm 1,\quad x\neq \pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{\operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{-\operatorname{ctg} x}{x^2-1}=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{x^4\cos x}{\tg x+\operatorname{ctg} x}$$
Область определения: $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\neq \pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
Проверим чётность:
$$ f(-x)=\frac{(-x)^4\cos(-x)}{\tg(-x)+\operatorname{ctg}(-x)} =\frac{x^4\cos x}{-\tg x-\operatorname{ctg} x} =-f(x). $$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{\cos x}{x^3-1}$$
Область определения: $$x\neq 1.$$
Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
$$f(x)=\tg x+x^2$$
Область определения: $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\tg(-x)+(-x)^2=-\tg x+x^2.$$
Это не равно ни $$f(x),$$ ни $$-f(x).$$ Значит, функция общего вида.
$$f(x)=\frac{(2-x)\cos x}{2-x}$$
Область определения: $$x\neq 2.$$
Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.