Упр.33.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Монету подбрасывают $$n$$ раз и подсчитывают частоту $$x_n$$ выпадения герба. Можно ли утверждать, что вероятность события $$x_n=\frac{1}{2}$$ неограниченно приближается к 0 с ростом числа испытаний $$n$$?

Обозначим через $$x_n$$ частоту выпадения герба при $$n$$ подбрасываниях монеты. Тогда

$$x_n=\frac{k}{n},$$

где $$k$$ — число выпадений герба, $$0\le k\le n$$.

Событие $$x_n=\frac12$$ возможно только тогда, когда $$n$$ чётно и $$k=\frac n2$$. Поэтому

$$P\left(x_n=\frac12\right)=\frac{C_n^{n/2}}{2^n} \quad \text{при чётном } n,$$

а при нечётном $$n$$

$$P\left(x_n=\frac12\right)=0.$$

Оценим вероятность при чётных $$n$$. Для $$n=2k$$ имеем

$$P\left(x_{2k}=\frac12\right)=\frac{C_{2k}^{k}}{2^{2k}}.$$

Из известной оценки биномиальных коэффициентов следует, что

$$C_{2k}^{k}\le 2^{2k},$$

поэтому вероятность не превосходит 1, но главное — при росте $$n$$ она не стремится к нулю неограниченно: для нечётных $$n$$ она равна нулю, а для чётных $$n$$ принимает положительные значения.

Следовательно, утверждать, что вероятность события $$x_n=\frac12$$ неограниченно приближается к $$0$$ с ростом числа испытаний $$n$$, нельзя.

Ответ

Нет.