Упр.32.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Случайная величина $$x$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n$$ и $$p$$. Докажите, что $$D(x)=np(1-p)$$.

Для распределения Бернулли случайная величина принимает значения $$0$$ и $$1$$ с вероятностями $$q$$ и $$p$$, где $$q=1-p$$. Тогда

$$D(x)=M(x^2)-\bigl(M(x)\bigr)^2.$$

Так как $$x^2=x$$ при $$x=0,1$$, получаем

$$M(x)=0\cdot q+1\cdot p=p,$$

$$M(x^2)=0^2\cdot q+1^2\cdot p=p.$$

Следовательно,

$$D(x)=p-p^2=p(1-p)=pq.$$

Теперь рассмотрим биномиальное распределение с параметрами $$n$$ и $$p$$. Случайную величину можно представить как сумму $$n$$ независимых случайных величин Бернулли:

$$x=x_1+x_2+\dots+x_n,$$

где для каждого $$x_i$$

$$D(x_i)=pq.$$

Так как дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то

$$D(x)=D(x_1)+D(x_2)+\dots+D(x_n)=npq.$$

Поскольку $$q=1-p$$, имеем

$$D(x)=np(1-p).$$

Ответ

$$D(x)=np(1-p).$$