Упр.31.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 31.5. Имеется 11 коробок с белыми и чёрными шарами. В первых десяти коробках лежит по одному белому и чёрному шару, а в одиннадцатой — два белых и один чёрный шар. Из каждой коробки наугад берут по одному шару. Случайная величина х равна количеству вытянутых белых шаров. Найдите распределение случайной величины х.

В первых десяти коробках вероятность вытянуть белый шар равна $$\frac12,$$ а в одиннадцатой коробке — $$\frac23.$$

Пусть $$X$$ — число вытянутых белых шаров. Тогда $$X$$ может принимать значения $$0,1,2,\dots,11.$$

Найдём вероятности этих значений.

1) Ни одного белого шара:

$$ P(X=0)=\left(\frac12\right)^{10}\cdot \frac13=\frac{1}{3\cdot 2^{10}}. $$

2) Все 11 шаров белые:

$$ P(X=11)=\left(\frac12\right)^{10}\cdot \frac23=\frac{2}{3\cdot 2^{10}}. $$

3) Ровно $$k$$ белых шаров, где $$1\le k\le 10$$.

Если в одиннадцатой коробке вытянут белый шар, то среди первых десяти коробок должно быть выбрано ещё $$k-1$$ белых шаров. Таких способов $$C_{10}^{k-1}$$.

Если в одиннадцатой коробке вытянут чёрный шар, то среди первых десяти коробок должно быть выбрано $$k$$ белых шаров. Таких способов $$C_{10}^{k}$$.

По формуле полной вероятности:

$$ P(X=k)=\left(\frac12\right)^{10}\cdot \frac13\, C_{10}^{k} +\left(\frac12\right)^{10}\cdot \frac23\, C_{10}^{k-1}. $$

Упростим:

$$ P(X=k)=\frac{1}{3\cdot 2^{10}}\,C_{10}^{k} +\frac{2}{3\cdot 2^{10}}\,C_{10}^{k-1}, \qquad 1\le k\le 10. $$

Итак, распределение случайной величины $$X$$ задаётся так:

Ответ

$$ P(X=0)=\frac{1}{3\cdot 2^{10}},\quad P(X=k)=\frac{1}{3\cdot 2^{10}}\,C_{10}^{k}+\frac{2}{3\cdot 2^{10}}\,C_{10}^{k-1}\ (1\le k\le 10),\quad P(X=11)=\frac{2}{3\cdot 2^{10}}. $$