Упр.31.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. В некотором опыте наблюдают две независимые случайные величины $$x$$ и $$y$$, имеющие биномиальное распределение, $$x$$ — с параметрами $$n$$ и $$p$$, а $$y$$ — с параметрами $$m$$ и $$p$$. Найдите распределение случайной величины $$x+y$$.

Пусть $$q=1-p.$$ Тогда

$$P(x=k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}, \qquad k=0,1,\dots,n,$$
$$P(y=j)=C_m^j p^j q^{\,m-j}, \qquad j=0,1,\dots,m.$$

Так как случайные величины $$x$$ и $$y$$ независимы, то для суммы $$x+y$$ получаем распределение свёрткой:

$$P(x+y=i)=\sum_{k} P(x=k)\,P(y=i-k).$$

Подставим формулы биномиального распределения:

$$P(x+y=i)=\sum_{k} C_n^k p^k q^{\,n-k}\, C_m^{\,i-k} p^{\,i-k} q^{\,m-i+k}.$$

После группировки степеней:

$$P(x+y=i)=p^i q^{\,m+n-i}\sum_{k} C_n^k C_m^{\,i-k}.$$

По формуле Вандермонда

$$\sum_{k} C_n^k C_m^{\,i-k}=C_{m+n}^i,$$

поэтому

$$P(x+y=i)=C_{m+n}^i p^i q^{\,m+n-i}.$$

Значит, случайная величина $$x+y$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$m+n$$ и $$p$$.

Ответ

$$x+y \sim \mathrm{Bin}(m+n,\;p).$$