Упр.31.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 31.4. В некотором опыте наблюдают две независимые случайные величины х и у, имеющие биномиальное распределение, х — с параметрами n и p, а у — с параметрами m и p. Найдите распределение случайной величины x+y.

Пусть $$q=1-p.$$ Тогда

$$ P(x=k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}, \qquad k=0,1,\dots,n, $$
$$ P(y=j)=C_m^j p^j q^{\,m-j}, \qquad j=0,1,\dots,m. $$

Так как случайные величины $$x$$ и $$y$$ независимы, то для суммы $$x+y$$ получаем распределение свёрткой:

$$ P(x+y=i)=\sum_{k} P(x=k)\,P(y=i-k). $$

Подставим формулы биномиального распределения:

$$ P(x+y=i)=\sum_{k} C_n^k p^k q^{\,n-k}\, C_m^{\,i-k} p^{\,i-k} q^{\,m-i+k}. $$

После группировки степеней:

$$ P(x+y=i)=p^i q^{\,m+n-i}\sum_{k} C_n^k C_m^{\,i-k}. $$

По формуле Вандермонда

$$ \sum_{k} C_n^k C_m^{\,i-k}=C_{m+n}^i, $$

поэтому

$$ P(x+y=i)=C_{m+n}^i p^i q^{\,m+n-i}. $$

Значит, случайная величина $$x+y$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$m+n$$ и $$p$$.

Ответ

$$x+y \sim \mathrm{Bin}(m+n,\;p).$$