Упр.31.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Случайные величины $$x$$ и $$y$$ являются независимыми. Верно ли, что случайные величины $$x^3$$ и $$y^3$$ также являются независимыми?

Если случайные величины $$x$$ и $$y$$ независимы, то для любых событий, зависящих соответственно только от $$x$$ и только от $$y$$, выполняется равенство

$$P(x \cap y)=P(x)\cdot P(y).$$

Рассмотрим преобразования $$x^3$$ и $$y^3$$. Кубическая функция взаимно однозначна, поэтому событие, связанное с $$x^3$$, определяется только значениями $$x$$, а событие, связанное с $$y^3$$, — только значениями $$y$$. Следовательно, независимость сохраняется:

$$P(x^3 \cap y^3)=P(x^3)\cdot P(y^3).$$

Значит, случайные величины $$x^3$$ и $$y^3$$ также независимы.

Ответ

Да.