Упр.305 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите функцию, обратную данной:

1) $$y=3x+5$$; 3) $$y=2+\sqrt{x-3}$$; 2) $$y=\frac{4}{x-1}$$; 4) $$y=x^2,\ x\in[2;+\infty)$$.

1. Для функции $$y=3x+5$$ выразим $$x$$ через $$y$$:
   $$3x=y-5,$$
   $$x=\frac{y-5}{3}.$$
   Значит, обратная функция:
   $$y=\frac{x-5}{3}.$$
2. Для функции $$y=\frac{4}{x-1}$$ выразим $$x$$ через $$y$$:
   $$x-1=\frac{4}{y},$$
   $$x=\frac{4+y}{y}.$$
   Тогда обратная функция:
   $$y=\frac{x+4}{x}.$$
3. Для функции $$y=2+\sqrt{x-3}$$:
   $$y-2=\sqrt{x-3},$$
   $$\left(y-2\right)^2=x-3,$$
   $$x=\left(y-2\right)^2+3=y^2-4y+7.$$
   Следовательно, обратная функция:
   $$y=x^2-4x+7.$$
   Так как исходная функция определена при $$x\ge 3$$ и возрастает, то область определения обратной функции:
   $$x\ge 2.$$
4. Для функции $$y=x^2,\ x\in[2;+\infty)$$ берём только ветвь $$x\ge 2$$:
   $$x=\sqrt{y}.$$
   Значит, обратная функция:
   $$y=\sqrt{x}.$$
   Область определения обратной функции:
   $$x\ge 4.$$

Ответ

1) $$y=\frac{x-5}{3}$$;
2) $$y=\frac{x+4}{x}$$;
3) $$y=x^2-4x+7,\ x\ge 2$$;
4) $$y=\sqrt{x},\ x\ge 4$$.